Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x

Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 2

Bài 2.20 trang 30 SBT Toán 8 Tập 1:Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

a) (x + 1)³– (x – 1)³– 6x²;

b) (2x – 3)²+ (2x + 3)²– 2(2x – 3)(2x + 3);

c) (x – 3)(x²+ 3x + 9) – (x + 2)(x²– 2x + 4).

Lời giải:

a)Cách 1:

(x + 1)³– (x – 1)³– 6x²

= x³+ 3x²+ 3x + 1 ‒ (x³‒ 3x²+ 3x ‒ 1) ‒ 6x²

= x³+ 3x²+ 3x + 1 ‒ x³+ 3x²‒ 3x + 1 ‒ 6x²

= (x³‒ x³) + (3x²+ 3x²‒ 6x²) + (3x ‒ 3x) + 1 + 1

= 2.

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Cách 2:

(x + 1)³– (x – 1)³– 6x²

= (x + 1 – x + 1)[(x + 1)²+ (x + 1)(x – 1) + (x – 1)²] – 6x²

= 2(x²+ 2x + 1 + x²– 1 + x²– 2x + 1) – 6x²

= 2(3x²+ 1) – 6x²

= 6x²+ 2 – 6x²

= 2.

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

b)Cách 1:

(2x – 3)²+ (2x + 3)²– 2(2x – 3)(2x + 3)

= 4x²‒ 12x + 9 + 4x²+ 12x + 9 ‒ 2(4x²‒ 9)

= 4x²‒ 12x + 9 + 4x²+ 12x + 9 ‒ 8x²+ 18

= (4x²+ 4x²‒ 8x²) + (‒12x + 12x) + 9 + 18 = 36.

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Cách 2:

(2x – 3)²+ (2x + 3)²– 2(2x – 3)(2x + 3)

= (2x – 3)²– 2.(2x – 3).(2x + 3) + (2x + 3)²

= [2x – 3 – (2x + 3)]²

= (2x – 3 – 2x – 3)²

= (–6)²= 36.

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

c) (x – 3)(x²+ 3x + 9) – (x + 2)(x²– 2x + 4)

= (x – 3)(x²+ 3x + 3²) – (x + 2)(x²– 2x + 2²)

= x³‒ 3³‒ (x³+ 2³)

= x³‒ 27 ‒ x³‒ 8

= (x³‒ x³) ‒ 27 ‒ 8 = ‒35.

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.