Chứng minh rằng AM song song với A’M’

Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Video Giải Bài tập 2 trang 71 SGK Toán lớp 11 Hình học

Bài tập 2 trang 71 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’.

a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’.

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (AB’C’) với đường thẳng A’M.

c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’).

d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng (AM’M).

Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.

Lời giải:

a) Xét tứ giác BMM’B có BM // B’M’ và BM = B’M’ (vì M, M’ là trung điểm của BC, B’C’)

Suy ra BMM’B’ là hình bình hành

Suy ra BB’//MM’

Mà có BB’ // AA’ nên  MM’ và AA’ đồng phẳng

Lại có  $\begin{array}{l}MM\text{'}\parallel BB\text{'}\parallel AA\text{'}\\ MM\text{'}=BB\text{'}=AA\text{'}\end{array}$

Nên AA’M’M là hình bình hành.

Suy ra AM // A’M’

b) Trong mặt phẳng AA’M’M, gọi $K=MA\text{'}\cap AM\text{'}$

Suy ra $\begin{array}{l}K\in A\text{'}M\\ K\in AM\text{'}\subset \left(AB\text{'}C\text{'}\right)\end{array}$

Vậy  $K=A\text{'}M\cap \left(AB\text{'}C\text{'}\right)$

c) Trong (ABB’A’) gọi $O=AB\text{'}\cap A\text{'}B$

Suy ra $\begin{array}{l}O\in AB\text{'}\subset \left(AB\text{'}C\text{'}\right)\\ O\in A\text{'}B\subset \left(BA\text{'}C\text{'}\right)\end{array}$

Suy ra $O\in \left(AB\text{'}C\text{'}\right)\cap \left(BA\text{'}C\text{'}\right)$

Mà  $C\text{'}\in \left(AB\text{'}C\text{'}\right)\cap \left(BA\text{'}C\text{'}\right)$

Vậy $OC\text{'}=\left(AB\text{'}C\text{'}\right)\cap \left(BA\text{'}C\text{'}\right)$

d) Ta có $d\equiv OC\text{'}\subset \left(AB\text{'}C\text{'}\right);AM\text{'}\subset \left(AB\text{'}C\text{'}\right)$

Trong (AB’C’) gọi $G=C\text{'}O\cap AM\text{'}$,

$G\in AM\text{'}\subset \left(AMM\text{'}\right)$ nên  $G=d\cap \left(AMM\text{'}\right)$

Mà O, M’ lần lượt là trung điểm AB’ và B’C’ nên G là trọng tâm của tam giác AB’C’.