Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số

Bài 17 trang 40 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) $M=\frac{x-2y}{3x+6y}:\frac{x^2-4y^2}{x^2+4xy+4y^2}$

b) $N=\left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)\left(\frac{1}{y}+\frac{2}{x-y}\right)$

c) $P=\left(\frac{x^3+y^3}{x+y}-xy\right):\left(x^2-y^2\right)+\frac{2y}{x+y}$

Lời giải:

a) Rút gọn biểu thức $M$ ta có:

$\begin{array}{l}M=\frac{x-2y}{3x+6y}:\frac{x^2-4y^2}{x^2+4xy+4y^2}\\ =\frac{x-2y}{3x+6y}.\frac{x^2+4xy+4y^2}{x^2-4y^2}\\ =\frac{\left(x-2y\right).{\left(x+2y\right)}^2}{3\left(x+2y\right).\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)}\\ =\frac{1}{3}\end{array}$

Ta thấy $M=\frac{1}{3}$ vậy giá trị của biểu thức $M$ không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) Rút gọn biểu thức $N$ ta có:

$\begin{array}{l}N=\left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)\left(\frac{1}{y}+\frac{2}{x-y}\right)\\ =\left(\frac{x\left(x+y\right)}{x+y}-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)\left(\frac{x-y}{y\left(x-y\right)}+\frac{2y}{y\left(x-y\right)}\right)\\ =\left(\frac{x^2+xy-x^2-y^2}{x+y}\right)\left(\frac{x-y+2y}{y\left(x-y\right)}\right)\\ =\left(\frac{xy-y^2}{x+y}\right)\left(\frac{x+y}{y\left(x-y\right)}\right)\\ =\left(\frac{y\left(x-y\right)}{x+y}\right)\left(\frac{x+y}{y\left(x-y\right)}\right)\\ =1\end{array}$

Ta thấy $N=1$ vậy giá trị của biểu thức $N$ không phụ thuộc vào giá trị của biến.

c) Rút gọn biểu thức $P$ ta có:

$\begin{array}{l}P=\left(\frac{x^3+y^3}{x+y}-xy\right):\left(x^2-y^2\right)+\frac{2y}{x+y}\\ =\left(\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{x+y}-xy\right):\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\frac{2y}{x+y}\\ =\left(x^2-xy+y^2-xy\right):\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\frac{2y}{x+y}\\ =\frac{x^2+y^2-2xy}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}+\frac{2y}{x+y}\\ =\frac{{\left(x-y\right)}^2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}+\frac{2y}{x+y}\\ =\frac{x-y}{x+y}+\frac{2y}{x+y}\\ =\frac{x+y}{x+y}=1\end{array}$

Ta thấy $P=1$ vậy giá trị của biểu thức $P$ không phụ thuộc vào giá trị của biến.