Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm M, N lần lượt trên cạnh AB, AC sao cho AM=AN

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Hình thang cân

Bài 14 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Lấy điểm $M,N$ lần lượt trên cạnh $AB,AC$ sao cho $AM=AN$.

a) Chứng minh tứ giác $BMNC$ là hình thang cân

b) Xác định vị trí các điểm $M,N$ để $BM=MN=NC$.

Lời giải:

a) Vì hai tam giác $AMN$ và $ABC$ đều cân tại $A$ nên

$\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ (cùng bằng $\frac{{180}^{\circ }-\hat{A}}{2}$)

Mà $\widehat{AMN}$ và $\widehat{ABC}$ nằm ở vị trí đồng vị, suy ra $MN//BC$.

Tứ giác $BMNC$ có $MN//BC$ và $\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ nên $BMNC$ là hình thang cân.

b) Do $BM=MN$ nên tam giác $MBN$ cân tại $M$. Suy ra $\widehat{MNB}=\widehat{MBN}$. Mà $\widehat{MNB}=\widehat{NBC}$ (hai góc so le trong), suy ra $\widehat{MBN}=\widehat{NBC}$. Do đó, $BN$ là tia phân giác của góc $ABC$.

Chứng minh tương tự ta được $CM$ là tia phân giác của góc $ACB$.

Dễ thấy, nếu các điểm $M,N$ được xác định sao cho $BM,CN$ lần lượt là tia phân giác của góc $ABC,ACB$ thì $BN=MN=CN$.

Vậy $M$ là giao điểm của $AB$ và tia phân giác của góc $ACB,N$ là giao điểm của $AC$ và tia phân giác của góc $ABC$ thì $BN=MN=CN$.