Anonymous
0
0
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng
- asked 4 months agoVotes
0Answers
0Views
Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông
Bài 9.47 trang 63 SBT Toán lớp 8 Tập 2:Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:
a) HA . HD = HB . HE = HC . HF;
b) ∆AFC ᔕ ∆AEB và AF . AB = AE . AC;
c) ∆BDF ᔕ ∆EDC và DA là tia phân giác của góc EDF.
Lời giải:
a)
Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên AD vuông góc với BC, BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB.
Tam giác AHE vuông ở H và tam giác BHD vuông ở D có:
(hai góc đối đỉnh)
Do đó, ∆AHE ᔕ ∆BHD (góc nhọn).
Suy ra nên HA . HD = HB . HE (1).
Tam giác HBF vuông ở F và tam giác HCE vuông ở E có:
(hai góc đối đỉnh)
Do đó, ∆HBF ᔕ ∆HCE (góc nhọn).
Suy ra nên HB . HE = HC . HF (2).
Từ (1) và (2) ta có: HA . HD = HB . HE = HC . HF.
b)
Tam giác AFC vuông ở F và tam giác AEB vuông ở E có:
chung.c
Do đó, ∆AFC ᔕ ∆AEB (góc nhọn)
Suy ra nên AF . AB = AE . AC.
c)
Vì HA . HD = HB . HE nên
Tam giác HAB và tam giác HED có:
(cmt)
(hai góc đối đỉnh)
Do đó, ∆AHB ᔕ ∆EHD (c.g.c).
Suy ra .
Mà (= ).
Do đó, .
Chứng minh tương tự ta có: .
Tam giác BDF và tam giác EDC có:
(cmt)
(cmt)
Do đó, ∆BDF ᔕ ∆EDC (g.g).
Suy ra: .
Mà .
Do đó, hay .
Vậy DA là tia phân giác của góc EDF.