Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC

Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Bài 9.49 trang 63 SBT Toán lớp 8 Tập 2:Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:

a) ∆ANP ᔕ ∆HBA và ∆MCN ᔕ ∆MPB;

b)$\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{PB}=1$

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC}=90°$ .

Mà $\widehat{BAC}+\widehat{PAN}=180°$ (hai góc kề bù)

Do đó, $\widehat{PAN}=90°$ .

Vì MN vuông góc với BC, AH vuông góc với BC nên MN song song với AH hay MP song song với AH.

Do đó, $\widehat{P}=\widehat{HAB}$ (hai góc đồng vị).

Tam giác ANP vuông tại A và tam giác HBA vuông tại H có:

$\widehat{P}=\widehat{HAB}$ (cmt)

Do đó, ∆ANP ᔕ ∆HBA (hai góc nhọn bằng nhau).

Tam giác MCN vuông tại M và tam giác MPB vuông tại M có:

$\widehat{C}=\widehat{P}$ (cùng phụ với góc B).

Do đó, ∆MCN ᔕ ∆MPB (hai góc nhọn bằng nhau).

b)

Ta có: $\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{PB}=\frac{MB}{PB}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{MC}$ .

Tam giác PMB có: PM song song với AH nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{MB}{MH}=\frac{PB}{PA}$ hay $\frac{MB}{PB}=\frac{MH}{PA}$ .

Tam giác AHC có: MN song song với AH nên theo định lí Thales ta có:

$\frac{NC}{NA}=\frac{MC}{MH}$.

Do đó, $\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{PB}=\frac{MB}{PB}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{MC}$$=\frac{MH}{PA}\cdot \frac{MC}{MH}\cdot \frac{PA}{MC}=1$ .