Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc

Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Bài 9.51 trang 64 SBT Toán lớp 8 Tập 2:Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh rằng:

a) AM . AB = AH²và AM . AB = AN . AC.

b) ∆AMN ᔕ ∆ACB.

Lời giải:

a) Tam giác AMH vuông ở M và tam giác AHB vuông ở H có:

$\widehat{HAB}$ chung

Do đó, ∆AMH ᔕ ∆AHB (góc nhọn).

Suy ra $\frac{AM}{AH}=\frac{AH}{AB}$ nên AM . AB = AH² (1).

Tam giác ANH vuông ở N và tam giác AHC vuông ở H có:

$\widehat{HAC}$ chung

Do đó, ∆ANH ᔕ ∆AHC (góc nhọn).

Suy ra $\frac{AN}{AH}=\frac{AH}{AC}$ nên AN . AC = AH² (2).

Từ (1) và (2) ta có: AM . AB = AN . AC.

b) Theo phần a ta có: AM . AB = AN . AC nên $\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$ .

Tam giác AMN và tam giác ACB có:

$\widehat{BAC}$ chung $\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$

Do đó, ∆AMN ᔕ ∆ACB (c.g.c).