Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) có đường kính BC

Giải SBT Toán 9 Bài 9: Ôn tập chương 2

Bài 84 trang 171 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) Tam giác EBF cân

b) Tam giác HAF cân

c) HA là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Lời giải:

a)

Gọi I là giao điểm của AD và BC

Vì $BC\perp AD$ tại I nên I là trung điểm của đoạn thẳng AD

Suy ra BC là trung trực của đoạn thẳng AD.

Vì BC là đường trung trực của AD nên theo tính chất đường trung trực ta có:

BA = BD

Tam giác BAD cân tại B có BI $\perp$ AD tại I nên BI vừa là đường cao vừa là tia phân giác của góc ABD

$\Rightarrow \widehat{ABI}=\widehat{DBI}$

Mà :

$\widehat{ABI}=\widehat{HBF}$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat{DBI}=\widehat{HBE}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{HBE}=\widehat{HBF}$

Tam giác EBF có BH là tia phân giác của góc EBF và cũng là đường cao do BH $\perp$ EF tại H nên tam giác EBF cân tại B.

b)

Xét tam giác EBF cân tại B, có $BH\perp \text{EF}$ nên BH là đường trung tuyến.

Suy ra HE = HF

Tam giác AEF vuông tại A có AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên: HA = HE = HF = $\frac{1}{2}$EF (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Do đó, tam giác AHF cân tại H .

c)

Tam giác AHF cân tại H nên ta có: $\widehat{HAF}=\widehat{HFA}$ (1)

Tam giác AOB cân tại O (do OA = OB) nên ta có: $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$

Mà: $\widehat{ABI}=\widehat{HBF}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{HBF}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$\widehat{HAO}=\widehat{HAF}+\widehat{OAB}=\widehat{HFB}+\widehat{HBF}$(3)

Tam giác BHF vuông tại H nên ta có:

$\widehat{HFB}+\widehat{HBF}={90}^o$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

$\widehat{HAO}={90}^o\Rightarrow HA\perp AO$ tại A

*Phương pháp giải:

a)Chứng minh trong một tam giác một đường thẳng vừa là đường cao vừa là phân giác

b)Tam giác có 2 cạnh bên bằng nhau thì là tam giác cân

c)Chứng minh một góc bằng 90 độ suy ra vuông góc

*Lý thuyết:

Định nghĩa:

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Trên hình, tam giác ABC cân ở A (AB = AC), AB và AC là hai cạnh bên, BC là cạnh đáy,$\widehat{B},\widehat{C}$ là các góc ở đáy,$\widehat{A}$ là góc ở đỉnh.

b. Tính chất:

- Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại, tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.

- Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau.

Tam giác ABC vuông cân tại A thì$\widehat{B}=\widehat{C}={45}^o$

c)

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90⁰.

Ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là $a\perp b$.