Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn

Giải SBT Toán 9 Bài 9: Ôn tập chương 2

Bài II.2 trang 173 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) AC.BD = $A{B}^2$;

b) ME là tiếp tuyến của nửa đường tròn.

Lời giải:

a)

Xét tam giác ABD vuông tại B

Có: $\widehat{A_1}+\widehat{D_1}={90}^o$ (1)

Tam giác AMB nội tiếp đường tròn đường kính AB nên tam giác AMB vuông tại M

$\Rightarrow \widehat{A_1}+\widehat{B_1}={90}^o$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra $\widehat{B_1}=\widehat{D_1}$ (cùng phụ với $\widehat{A_1}$)

Xét tam giác ABC và tam giác BDA

Có: $\widehat{B_1}=\widehat{D_1}$ (cmt)

$\widehat{BAC}=\widehat{ABD}={90}^o$

Do đó, tam giác ABC và tam giác BDA  đồng dạng (góc – góc)

$\Rightarrow \frac{AB}{BD}=\frac{AC}{BA}\Rightarrow A{B}^2=BD.AC$

b)

Vì tam giác AMB vuông tại M nên AD $\perp$ BM tại M

Do đó, tam giác BMD vuông tại M

Xét tam giác BMD vuông tại M

ME là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

$ME=ED=EB=\frac{BD}{2}$

Do đó, tam giác EBM cân tại E

$\widehat{M_2}=\widehat{B_2}$ (1)

Lại có tam giác MOB cân tại O (do OM = OB)

nên $\widehat{M_1}=\widehat{B_1}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$\widehat{M_1}+\widehat{M_2}=\widehat{B_1}+\widehat{B_2}=\widehat{OBD}={90}^o$

$\Rightarrow \widehat{OME}={90}^o\Rightarrow ME\perp OM$ tại M

Do đó, ME là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)