Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A

Giải SBT Toán 9 Bài 9: Ôn tập chương 2

Bài 82 trang 171 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) Tứ giác AMIN là hình gì ? Vì sao?

b) Chứng minh hệ thức IM.IO = IN.IO’

c) Chứng minh rằng OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là DE

d) Tính độ dài DE, biết rằng OA = 5cm, O’A = 3,2cm

Lời giải:

a)

Trong đường tròn (O) ta có IO là tia phân giác của góc AID (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Trong đường tròn (O’) ta có IO’ là tia phân giác của góc AIE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà góc AID và góc AIE là hai góc kề bù

$\Rightarrow$ IO $\perp$ IO’ (tính chất hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{\text{OIO'}}{\text{ = 90}}^o\Rightarrow \widehat{MIN}={90}^o$

Lại có: IA = ID (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Do đó, tam giác ADI cân tại I

Tam giác cân AID có IO là phân giác của góc AID nên IO cũng là đường cao của tam giác AID

$\Rightarrow$ IO $\perp$ AD  tại M $\Rightarrow AMI={90}^o$

Mặt khác: IA = IE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Do đó, tam giác AEI cân tại I

Tam giác cân AIE có IO’ là phân giác của góc AIE nên IO’ cũng là đường cao của tam giác AIE

$\Rightarrow$ IO’ $\perp$ AE tại N $\Rightarrow \widehat{ANI}={90}^o$

Do đó, tứ giác AMIN có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

b)

Tam giác AIO vuông tại A có AM $\perp$ IO tại M

Do đó, AM là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$I{A}^2=IM.IO$ (1)

Tam giác AIO’ vuông tại A có AN $\perp$ IO’ tại N

Do đó, AN là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$I{A}^2=IN.IO\text{'}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IM.IO = IN.IO’

c)

Ta có: IA = ID = IE = $\frac{1}{2}DE$ (chứng minh trên)

Do đó, A nằm trên đường tròn tâm I đường kính DE

Vì OO’ $\perp$ IA tại A nên OO’ là tiếp tuyến của đường tròn (I; $\frac{1}{2}DE$)

d)

Tam giác O’IO vuông tại I có IA $\perp$ OO’ tại A

Do đó, IA là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$I{A}^2=OA.O\text{'}A=5.3,2=16\Rightarrow IA=\sqrt{16}=4\left(cm\right)$

Mà DE = 2IA nên DE = 2.4 = 8 (cm)