Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa AB

Giải SBT Toán 9 Bài 9: Ôn tập chương 2

Bài 81 trang 171 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) Tứ giác DMCN là hình gì ? Vì sao?

b) Chứng minh hệ thức DM.DA = DN.DB

c) Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn có đường kính AC, BC

d) Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất.

Lời giải:

a)

Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn có AB là đường kính nên tam giác ABD vuông tại D

$\Rightarrow \widehat{ADB}={90}^o\Rightarrow \widehat{MDN}={90}^o$

Tam giác ACM nội tiếp trong đường tròn có AC là đường kính nên tam giác ACM vuông tại M

$\Rightarrow \widehat{AMC}={90}^o\Rightarrow \widehat{CMD}={90}^o$

Tam giác BCN nội tiếp trong đường tròn có AC là đường kính nên  tam giác BCN vuông tại N

$\Rightarrow \widehat{BNC}={90}^o\Rightarrow \widehat{CND}={90}^o$

Do đó, tứ giác CMDN có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật

b)

Tam giác ACD vuông tại C có CM $\perp$ AD tại M

Do đó, CM là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$C{D}^2=DM.DA$ (1)

Tam giác BCD vuông tại C có CN $\perp$ BD

Do đó, CN là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$C{D}^2=DN.DB$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DM.DA = DN.DB

c)

Gọi P là trung điểm của AC, Q là trung điểm của BC, I là giao điểm của MN với DC

Vì CMDN là hình chữ nhật nên IC = IM = ID = IN

Tam giác CNI cân tại I nên $\widehat{ICN}=\widehat{INC}$  (3)

Tam giác CNQ cân tại Q nên $\widehat{QCN}=\widehat{QNC}$ (4)

Vì AB $\perp$ CD tại C nên  $\widehat{ICN}+\widehat{QCN}={90}^o$(5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra

$\widehat{INC}+\widehat{QNC}={90}^o$

$\Rightarrow$ MN $\perp$ QN tại N

Do đó, MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

Tam giác CMI cân tại I nên $\widehat{ICM}=\widehat{IMC}$ (6)

Tam giác CMP cân tại P nên $\widehat{PCM}=\widehat{PMC}$  (7)

Vì AB  CD tại C nên  $\widehat{ICM}+\widehat{PCM}={90}^o$(8)

Từ (6), (7) và (8) suy ra:  

$\widehat{PMC}+\widehat{IMC}={90}^o\Rightarrow MN\perp PM$

Do đó, MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AC

d)

Gọi O là trung điểm của AB

Tứ giác CMDN là hình chữ nhật nên CD = MN

Xét tam giác OCD ta có:

CD $\le$ OD nên MN $\le$ OD

Vì OD không đổi nên MN = OD là giá trị lớn nhất khi và chỉ khi C trùng với O

Vậy C là trung điểm của AB thì MN có độ dài lớn nhất.