Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn

Giải SBT Toán 9 Bài 9: Ôn tập chương 2

Bài II.3 trang 173 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn. Gọi xy là tiếp tuyến với đường tròn tại A. Từ một điểm M nằm trên xy, vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB.

a) Chứng minh rằng ba điểm M, H, O thẳng hàng.

b) Tứ giác AOBH là hình gì?

c) Khi M di chuyển trên xy thì H di chuyển trên đường nào ?

Lời giải:

a)

Vì H là trực tâm của tam giác MAB nên  

$MH\perp AB$ (1)

Xét đường tròn (O)

Có MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên OM là tia phân giác của góc BOA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Lại có OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Do đó, tam giác OAB cân tại O có OM là đường phân giác và cũng là đường cao

$\Rightarrow OM\perp AB$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra OM và MH cùng vuông góc với AB nên O, M, H thẳng hàng

b)

Xét đường tròn (O) có MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên

$OB\perp MB,OA\perp MA$

Xét tam giác MAB có H là trực tâm nên

$AH\perp MB,BH\perp MA$

Xét tứ giác AOBH có:

BH // OA (do cùng vuông góc với MA)

AH // OB (do cùng vuông góc với MB)

Do đó, AOBH là hình bình hành

Mà OA = OB

Do đó, AOBH là hình thoi

c)

Ta có: HA = OA (do AOBH là hình thoi )

Nên H cách A cố định một khoảng bằng OA không đổi

Như vậy, khi M chuyển động trên xy thì H di chuyển trên đường tròn (A; AO).