Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’)

Giải SBT Toán 9 Bài 9: Ôn tập chương 2

Bài 87 trang 172 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) Chứng minh rằng tứ giác BDCE là hình thoi

b) Gọi I là giao điểm của EC và đường tròn (O’). Chứng minh rằng ba điểm D, A, I thẳng hàng

c) Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

Lời giải:

a)

Vì đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A nên O, A và O’ thẳng hàng

Ta có: KB = KC (gt)

Trong đường tròn (O) ta có:

AB $\perp$ DE tại K

Mà AB là đường kính và DE là dây cung

Do đó, K là trung điểm của DE

$\Rightarrow$ KD = KE (đường kính vuông góc với dây cung)

Do đó, tứ giác BDCE có hai đường chéo DE và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.

Lại có: BC $\perp$ DE

Do đó, tứ giác BDCE là hình thoi.

b)

Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên tam giác ABD vuông tại D

$\Rightarrow$AD $\perp$ BD tại D

Tứ giác BDCE là hình thoi nên EC // BD

$\Rightarrow$ EC $\perp$ AD     (1)

Tam giác AIC nội tiếp trong đường tròn (O’) có AC là đường kính nên vuông tại I

$\Rightarrow$ AI $\perp$ CE     (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD trùng với AI

Vậy D, A, I thẳng hàng.

c)

Tam giác DIE vuông tại I có IK là trung tuyến ứng với cạnh huyền DE nên:

KI = KD = $\frac{1}{2}$ ED (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Do đó, tam giác IKD cân tại K

$\Rightarrow \widehat{KID}=\widehat{KDI}\Rightarrow \widehat{KIA}=\widehat{KDA}$ (3)

Ta có: O’A = O’I nên tam giác O’IA cân tại O’

Mà: $\widehat{O\text{'}AI}=\widehat{KAD}$  

$\Rightarrow \widehat{O\text{'}AI}=\widehat{O\text{'}IA}$ (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra:

$\widehat{KIO\text{'}}={90}^o\Rightarrow KI\perp O\text{'}I$ tại I

Do đó, KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’).