Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB

Giải SBT Toán 9 Bài 9: Ôn tập chương 2

Bài 88 trang 172 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) Chứng minh rằng ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD không đổi

c) Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi

Lời giải:

a)

Trong đường tròn (M; MH), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

MA là tia phân giác của góc HMC

$\Rightarrow \widehat{CMA}=\widehat{HMA}\Rightarrow \widehat{CMH}=2\widehat{HMA}$

MB là tia phân giác của góc HMD

$\Rightarrow \widehat{HMB}=\widehat{DMB}\Rightarrow \widehat{DMH}=2\widehat{HMB}$

Tam giác ABM nội tiếp đường tròn (O) có đường kính AB nên tam giác ABM vuông tại M

$\Rightarrow \widehat{AMB}=\widehat{HMA}+\widehat{HMB}={90}^o$

$\Rightarrow \widehat{CMH}+\widehat{HMD}=2\widehat{HMA}+2\widehat{HMB}=2(\widehat{HMA}+\widehat{HMB})={2.90}^o={180}^o$

Do đó, C, M, D thẳng hàng.

b)

Trong đường tròn (M; MH), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = AH và BD = BH

Khi M thay đổi trên nửa đường tròn tâm O thì AC luôn bằng AH và BD luôn bằng BH

Do đó, AC + BD = AH + BH = AB luôn không đổi

c)

Ta có: AC $\perp$ CD và BD $\perp$ CD (tính chất tiếp tuyến)

$\Rightarrow$ AC // BD

Do đó tứ giác ABDC là hình thang

Mà OA = OB (bán kính của đường tròn (O))

nên O là trung điểm của AB

Và MC = MD (bán kính của đường tròn  (M))

nên M là trung điểm của CD

Do đó, OM là đường trung bình của hình thang ABDC

Khi đó OM // AC

Mà AC $\perp$ CD $\Rightarrow$ OM $\perp$ CD tại M

$\Rightarrow OMI={90}^o$

Tam giác OMI vuông tại M có MH $\perp$ OI tại H

Do đó, MH là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$O{M}^2=OH.OI$

Mà OM = R

Do đó, OH.OI = $R^2$ luôn không đổi với R là bán kính của đường tròn (O)