Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O

Giải SBT Toán 9 Bài 9: Ôn tập chương 2

Bài 86 trang 172 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O’) có đường kính CB

a) Hai đường tròn (O) và (O’) có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau?

b) Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?

c) Gọi K là giao điểm của DB với đường tròn (O’). Chứng minh rằng ba điểm E, C, K thẳng hàng.

d) Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

Lời giải:

a)

Vì O, O’ và B thẳng hàng nên:

O’B < OB $\Rightarrow$ O’ nằm giữa O và B

Ta có: OO’ = OB - O’B

Do đó, đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) tại B

b) Ta có:

HA = HC (gt)

AB $\perp$ DE  tại H (gt)

Mà AB là đường kính, DE là dây cung

$\Rightarrow$ HD = HE (đường kính vuông góc với dây cung)

Do đó, tứ giác ADCE có hai đường chéo DE và AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành

Lại có: AC $\perp$ DE

Do đó, tứ giác ADCE là hình thoi

c)

Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại D

$\Rightarrow$ AD $\perp$ BD

Tứ giác ADCE là hình thoi nên EC // AD

$\Rightarrow$ EC $\perp$ BD     (1)

Tam giác BCK nội tiếp trong đường tròn (O’) có BC là đường kính nên tam giác BCK vuông tại K

$\Rightarrow$ CK $\perp$ BD     (2)

Từ (1) và (2) suy ra EC trùng với CK

Vậy E, C, K thẳng hàng.

d)

Tam giác DEK vuông tại K có KH là trung tuyến ứng với cạnh huyền DE nên:

HK = HE = $\frac{1}{2}$ DE (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Do đó, tam giác EHK cân tại H

$\Rightarrow \widehat{HEK}=\widehat{HKE}$ (3)

Ta có: O’C = O’K nên tam giác O’KC cân tại O’

$\Rightarrow \widehat{O\text{'}CK}=\widehat{O\text{'}KC}$

Mà: $\widehat{O\text{'}CK}=\widehat{HCE}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{O\text{'}KC}=\widehat{HCE}$ (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra  

$\widehat{HKO\text{'}}=\widehat{HKE}+\widehat{O\text{'}KC}=\widehat{HEK}+\widehat{HCE}$(5)

Tam giác CEH vuông tại H nên ta có:  

$\widehat{HEK}+\widehat{HCE}={90}^o$ (6)

Từ (5) và (6) ta suy ra

$\widehat{HKO\text{'}}={90}^o\Rightarrow HK\perp KO\text{'}$ tại K

Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn O’