Cho tam giác ABC với ba cạnh a, b, c. Chứng minh rằng

Giải SBT Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 4

Bài 1 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với ba cạnh a, b, c. Chứng minh rằng: $\frac{\mathrm{cosA}}{\text{a}}+\frac{\text{cosB}}{\text{b}}+\frac{\text{cosC}}{\text{c}}$$=\frac{{\text{a}}^{\text{2}}{\text{ + b}}^{\text{2}}{\text{ + c}}^{\text{2}}}{\text{2abc}}$.

Lời giải

Theo định lí côsin: a² = b² + c² – 2bccosA

⇒ cosA = $\frac{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}{2\text{bc}}$

⇒ $\frac{\text{cosA}}{\text{a}}$=$\frac{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}{2a\text{bc}}$.

Tương tự ta có:

$\frac{\text{cosB }}{\text{b}}$=$\frac{{\text{a}}^2+{\text{c}}^2-{\text{b}}^2}{2\text{abc}}$và $\frac{\text{cosC}}{\text{c}}$=$\frac{{\text{a}}^2+{\text{b}}^2-{\text{c}}^2}{2\text{abc}}$

Như vậy: $\frac{\mathrm{cosA}}{\text{a}}+\frac{\text{cosB}}{\text{b}}+\frac{\text{cosC}}{\text{c}}$=$\frac{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}{2a\text{bc}}$+ $\frac{{\text{a}}^2+{\text{c}}^2-{\text{b}}^2}{2\text{abc}}$+ $\frac{{\text{a}}^2+{\text{c}}^2-{\text{b}}^2}{2\text{abc}}$

⇒ $\frac{\mathrm{cosA}}{\text{a}}+\frac{\text{cosB}}{\text{b}}+\frac{\text{cosC}}{\text{c}}$$=\frac{{\text{a}}^{\text{2}}{\text{ + b}}^{\text{2}}{\text{ + c}}^{\text{2}}}{\text{2abc}}$. ( ĐPCM ).