Cho tam giác ABC không vuông. Chứng minh rằng

Giải SBT Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 4

Bài 6 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC không vuông. Chứng minh rằng:

$\frac{\tan \text{A}}{\tan \text{B}}=\frac{{\text{c}}^2+{\text{a}}^2-{\text{b}}^2}{{\text{c}}^2+{\text{b}}^2-{\text{a}}^2}$.

Lời giải

Theo định lí côsin ta có: a² = b² + c² – 2bcosA

⇒ cosA = $\frac{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}{\text{2bc}}$

Tương tự: cosB = $\frac{{\text{a}}^2+{\text{c}}^2-{\text{b}}^2}{\text{2ac}}$

Theo định lí côsin ta có: $\frac{\text{a}}{\text{sinA}}=\frac{\text{b}}{\text{sinB}}=2\text{R}$

⇒ sinA = $\frac{\text{a}}{\text{2R}}$và sinB = $\frac{\text{b}}{\text{2R}}$

Ta có:

$\frac{\text{tanA}}{\text{tanB}}\text{=}\frac{\text{sinA}}{\text{cosA}}\text{.}\frac{\text{cosB}}{\text{sinB}}$=$\frac{\text{a}}{\text{2R}}$.$\frac{2\text{bc}}{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}$.$\frac{{\text{a}}^2+{\text{c}}^2-{\text{b}}^2}{\text{2ac}}$.$\frac{\text{2R}}{\text{b}}$= $\frac{{\text{c}}^2+{\text{a}}^2-{\text{b}}^2}{{\text{c}}^2+{\text{b}}^2-{\text{a}}^2}$(ĐPCM).