Bài 3 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 4

Bài 3 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10, c = 13.

a) Tam giác ABC có góc tù không?

b) Tính độ dài trung tuyến AM, diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

c) Lấy điểm D đối xứng với A qua C. Tính độ dài BD.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin ta có: $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{8^2+{10}^2-{13}^2}{\mathrm{2.8.10}}=\frac{-1}{32}$

$\Rightarrow \widehat{C}\approx 91°47\text{'}$> 90°

Vậy tam giác ABC có góc $\widehat{ACB}$là góc tù.

b) Vì M là trung điểm của CB (vì AM là đường trung tuyến ) nên

CM = MB = 8 : 2 = 4 cm

Áp dụng định lí côsin ta có:

$A{M}^2=A{C}^2+C{M}^2-2AC.CM.\cos C={10}^2+4^2-\mathrm{2.10.4.}\left(\frac{-1}{32}\right)=\frac{237}{2}$

$\Rightarrow AM=\frac{\sqrt{474}}{2}$

Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\mathrm{.8.10.}\sin \left({91}^0{47}^{\text{'}}\right)\approx 39,98$

$\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{\mathrm{8.10.13}}{4.39,98}\approx 6,5$

Vì D đối xứng với A qua C nên $\widehat{BCD}=180°-\widehat{BCA}$

Áp dụng định lí côsin ta có:

$B{D}^2=B{C}^2+C{D}^2-2.BC.CD.\cos (180°-\widehat{BCA})$

$=B{D}^2+C{D}^2-2BC.CD.(-\cos \widehat{BCA})$

$=8^2+{10}^2-\mathrm{2.8.10.}\frac{1}{32}=159$

$\Rightarrow BD=\sqrt{159}$