Bài 5 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 4

Bài 5 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD.

a) Chứng minh 2(AB² + BC²) = AC² + BD².

b) Cho AB = 4, BC = 5, BD = 7. Tính AC.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin ta có:$A{C}^2=A{B}^2+C{B}^2-2.AB.CB.\cos \widehat{ABC}$(1)

$B{D}^2=A{D}^2+A{B}^2-2.AD.AB.\cos \widehat{DAB}$

Mà theo tính chất của hình bình hành : CB = AD và $\widehat{DAB}={180}^0-\widehat{ABC}$(Vì AD//BC và $\widehat{DAB};\widehat{ABC}$là hai góc trong cùng phía)

$\Rightarrow B{D}^2=B{C}^2+A{B}^2-2.BC.AB.\cos ({180}^0-\widehat{ABC})$

$B{D}^2=B{C}^2+A{B}^2+2.BC.AB.\cos \widehat{ABC}$(2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:

$A{C}^2+B{D}^2=A{B}^2+C{B}^2-2.AB.CB.\cos \widehat{ABC}+B{C}^2+A{B}^2+2.BC.AB.\cos \widehat{ABC}$

$=2A{B}^2+2B{C}^2=2.(A{B}^2+B{C}^2)$(đpcm)

b) Áp dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) ta được:

$\begin{array}{l}A{C}^2=2(A{B}^2+B{C}^2)-B{D}^2=2.(4^2+5^2)-7^2=33\\ \Rightarrow AC=\sqrt{33}\end{array}$