Cho tam giác ABC cân tại A (góc A < 90 độ), các đường cao BD và CE cắt nhau tại H

Giải SBT Toán 8 Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông

Bài 4 trang 72 SBT Toán 8 Tập 1:Cho tam giác ABC cân tại A$\left(\hat{A}<90°\right)$, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Tia phân giác của góc ABD cắt EC và AC lần lượt tại M và P. Tia phân giác của góc ACE cắt DB và AB lần lượt tại Q và N. Chứng minh rằng:

a)$\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$;

b) BH = CH;

c) Tam giác BOC vuông cân;

d) MNPQ là hình vuông.

Lời giải:

Chú ý: Câu c bổ sung dữ kiện “O là giao điểm của BP và CN”.

a) Ta có:

∆ABD vuông tại D (do BD là đường cao ∆ABC), suy ra$\widehat{ABD}+\widehat{BAC}=90°$;

∆AEC vuông tại E (do CE là đường cao ∆ABC), suy ra$\widehat{ACE}+\widehat{BAC}=90°$.

Do đó$\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$.

b) ∆ABC cân tại A nên$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Mà$\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$(theo câu a).

Suy ra$\widehat{ABC}-\widehat{ABD}=\widehat{ACB}-\widehat{ACE}$hay$\widehat{B_3}=\widehat{C_3}$.

Do đó ∆HBC cân tại H nên BH = CH.

c) Ta có$\widehat{B_2}=\frac{1}{2}\widehat{ABD}$(do BP là tia phân giác$\widehat{ABD}$) và$\widehat{C_2}=\frac{1}{2}\widehat{ACE}$(do CN là tia phân giác$\widehat{ACE}$)

Mà$\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$, suy ra$\widehat{B_2}=\widehat{C_2}$.

∆OBC có$\widehat{B_3}=\widehat{C_3}$,$\widehat{B_2}=\widehat{C_2}$nên$\widehat{B_3}+\widehat{B_2}=\widehat{C_3}+\widehat{C_2}$hay$\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$.

Suy ra ∆OBC cân tại O (1)

Mặt khác, vì$\widehat{C_2}=\widehat{B_1}$(cùng bằng$\widehat{B_2}$) nên ta có

$\widehat{B_2}+\widehat{B_3}+\widehat{C_2}+\widehat{C_3}=\widehat{B_2}+\widehat{B_3}+\widehat{B_1}+\widehat{C_3}$

$=\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=180°-\widehat{BEC}=180°-90°=90°$.

Mà$\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=\widehat{B_2}+\widehat{B_3}+\widehat{C_2}+\widehat{C_3}=90°$

Suy ra$\widehat{BOC}=180°-\left(\widehat{OBC}+\widehat{OCB}\right)=180°-90°=90°$.

Do đó tam giác OBC vuông tại O (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∆OBC vuông cân tại O.

d) ∆OBC cân tại O nên OB = OC. (3)

Xét ∆BMH và ∆CQH có:

$\widehat{B_2}=\widehat{C_2}$(theo câu b);

BH = CH (do ∆HBC cân tại H);

$\widehat{BHM}=\widehat{CHQ}$(hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆BMH= ∆CQH (g.c.g).

Suy ra BM = CQ. (4)

Từ (3) và (4) suy ra OB ‒ BM = OC ‒ CQ hay OM = OQ. (5)

Mà ∆BNQ có BO là đường cao cũng đường phân giác nên ∆BNQ cân tại B.

Suy ra BO cũng là đường trung tuyến, nên O là trung điểm của QN hay ON = OQ.(6)

Chứng minh tương tự, ta được OP = OM. (7)

Từ (5), (6), (7) suy ra OM = ON = OQ = OP.

Khi đó ON + OQ = OM + OP hay NQ = MP.

Xét tứ giác MNPQ có: OM = OP và OQ = ON nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Mà NQ = MP nên MNPQ là hình chữ nhật.

Ta lại có MP ⊥ NP tại O nên MNPQ là hình vuông.