Cho hình bình hành ABCD với góc A tù. Dựng bên ngoài hình bình hành đó các tam giác đều ABE và DAF

Giải SBT Toán 8 Bài 12: Hình bình hành

Bài 3.14 trang 37 SBT Toán 8 Tập 1:Cho hình bình hành ABCD với góc A tù. Dựng bên ngoài hình bình hành đó các tam giác đều ABE và DAF. Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều (Gợi ý: Chứng minh các tam giác AEF, DCF, BEC bằng nhau).

Lời giải:

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD

Gọi $\widehat{BAD}=\alpha$

Vì AB // CD nên ta có $\widehat{BAD}+\widehat{ADC}=180°$

Suy ra $\widehat{ADC}=180°-\widehat{BAD}=180°-\alpha$

$\widehat{CDF}=\widehat{ADC}+\widehat{ADF}=180°-\alpha +60°=240°-\alpha$ (do ∆AFD nên $\widehat{ADF}=60°$) (1)

• Ta có: $\widehat{EAF}+\widehat{FAD}+\widehat{DAB}+\widehat{BAE}=360°$

Suy ra $\widehat{EAF}=360°-\widehat{FAD}-\widehat{DAB}-\widehat{BAE}$

Mà $\widehat{FAD}=\widehat{BAE}=60°$ (do ∆AFD và ∆ABE đều)

Suy ra $\widehat{EAF}=360°-60°-60°-\alpha =240°-\alpha \left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{CDF}=\widehat{EAF}.$

Xét ∆AEF và ∆DCF có

AF = DF ( vì ∆ADF đều);

$\widehat{CDF}=\widehat{EAF}$ (chứng minh trên);

AE = DC (vì cùng bằng AB)

Do đó: ∆AEF =  ∆DCF (c.g.c)

Suy ra EF = CF (*)

• $\widehat{CBE}=\widehat{ABC}+\widehat{ABE}=\widehat{ABC}+60°$

Mà ABCD là hình bình hành nên $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=180°-\alpha$

Suy ra $\widehat{CBE}=180°-\alpha +60°=240°-\alpha$, mà $\widehat{CDF}=240°-\alpha$(chứng minh trên)

Suy ra $\widehat{CBE}=\widehat{CDF}.$

Xét ΔBCE và ΔDFC có:

BE = CD (vì cùng bằng AB);

$\widehat{CBE}=\widehat{CDF}$ (chứng minh trên);

BC = DF (vì cùng bằng AD)

Do đó ∆BCE = ∆DFC (c.g.c)

Suy ra CE = CF (**)

Từ (*) và (**) suy ra: EF = CF = CE

Vậy ∆ECF là tam giác đều.