Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A

Giải SBT Toán 9 Bài 8: Vị trí tương đối của hai đường tròn (Tiếp theo)

Bài 77 trang 169 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai đường tròn (M $\in$(O), N $\in$ (O’)). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là điểm đối xứng với N qua OO’. Chứng minh rằng:

a) MNQP là hình thang cân.

b) PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).

c) MN + PQ = MP + NQ.

Lời giải:

a)

Vì M và P đối xứng qua trục OO’ nên OO’ là đường trung trực của MP

$\Rightarrow$ OP = OM

Khi đó P thuộc (O) và MP $\perp$ OO’    (1)

Vì N và Q đối xứng qua trục OO’ nên OO’ là đường trung trực của NQ

$\Rightarrow$ O’N = O’Q

Khi đó Q thuộc (O’) và NQ $\perp$ OO’  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MP // NQ

Do đó, tứ giác MNPQ là hình thang

Vì OO’ là đường trung trực của MP và NQ nên OO’ đi qua trung điểm hai đáy hình thang MNQP, OO’ đồng thời cũng là trục đối xứng của hình thang MNQP nên MNQP là hình thang cân.

b)

Ta có: MN $\perp$ OM (tính chất tiếp tuyến)

$\Rightarrow \widehat{OMN}={90}^o\Rightarrow \widehat{OMP}+\widehat{PMN}={90}^o$ (3)

Tam giác OMP cân tại O (do OM = OP)

$\Rightarrow \widehat{OPM}=\widehat{OMP}$ (4)

Lại có MNQP là hình thang cân nên $\widehat{PMN}=\widehat{QPM}$ (5)

Từ (3), (4), (5) ta suy ra $\widehat{OPM}+\widehat{QPM}={90}^o\Rightarrow \widehat{OPQ}={90}^o$

$\Rightarrow$ QP ⊥ OP tại P

Vậy PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Ta có: MN $\perp$ O’N (tính chất tiếp tuyến)

$\Rightarrow \widehat{O\text{'}NM}={90}^o\Rightarrow \widehat{MNQ}-\widehat{O\text{'}NQ}={90}^o$ (6)

Tam giác O’NQ cân tại O’ (do O’N = O’Q)

$\Rightarrow \widehat{O\text{'}NQ}=\widehat{O\text{'}QN}$ (7)

Lại có MNQP là hình thang cân nên $\widehat{MNQ}=\widehat{PQN}$ (8)

Từ (6), (7), (8) ta suy ra $\widehat{PQM}-\widehat{O\text{'}QN}={90}^o\Rightarrow \widehat{O\text{'}QP}={90}^o$

Suy ra: QP $\perp$ O’Q tại Q

c)

Kẻ tiếp tuyến chung tại A cắt MN tại E và PQ tại F

Trong đường tròn (O), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

EM = EA và FP = FA

Trong đường tròn (O’), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

EN = EA và FQ = FA

$\Rightarrow$ EM = EA = EN = $\frac{1}{2}$MN

Và FP = FA = FQ =  $\frac{1}{2}$PQ

Suy ra : MN + PQ = 2EA + 2FA

= 2(EA + FA) = 2EF    (9)

E là trung điểm của MN (do EM = EN) và F là trung điểm của PQ (do FP = FQ)

Do đó, EF là đường trung bình của hình thang MNQP nên :

EF = $\frac{1}{2}$ (MP + NQ) hay MP + NQ = 2EF    (10)

Từ (9) và (10) suy ra: MN + PQ = MP + NQ