Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A

Giải SBT Toán 9 Bài 8: Vị trí tương đối của hai đường tròn (Tiếp theo)

Bài 76 trang 169 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các đường kính AOB, AO’C. Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (D $\in$ (O), E $\in$ (O’)). Gọi M là giao điểm của BD và CE.

a. Tính số đo góc DAE.

b. Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?

c. Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Lời giải:

a)

Kẻ tiếp tuyến chung tại A cắt DE tại I

Trong đường tròn (O) ta có:

IA = ID (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Trong đường tròn (O’) ta có :

IA = IE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra : IA = ID = IE = $\frac{1}{2}$DE

Do đó, tam giác ADE có đường trung tuyến AI ứng với cạnh DE và bằng nửa cạnh DE nên tam giác ADE vuông tại A

$\Rightarrow \widehat{DAE}={90}^o$

b. Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên tam giác ABD vuông tại D

$\Rightarrow \widehat{BDA}={90}^o\Rightarrow \widehat{ADM}={90}^o$

Tam giác AEC nội tiếp trong đường tròn (O’) có AC là đường kính nên nên tam giác AEC vuông tại E

$\Rightarrow \widehat{AEC}={90}^o\Rightarrow \widehat{AEM}={90}^o$

Mặt khác: $\widehat{EAD}={90}^o$ (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác ADME có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

c)

Tứ giác ADME là hình chữ nhật và ID = IE (chứng minh trên) nên đường chéo AM của hình chữ nhật phải đi qua trung điểm I của DE.

Do đó, A, I, M thẳng hàng.

Ta có: IA $\perp$ OO’ (vì IA là tiếp tuyến của (O))

$\Rightarrow$ AM $\perp$ OO’

Vậy MA là tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và (O’)