Cho đường tròn (O ; 3cm) và đường tròn (O’; 1cm) tiếp xúc ngoài tại A

Giải SBT Toán 9 Bài 8: Vị trí tương đối của hai đường tròn (Tiếp theo)

Bài 75 trang 169 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) Tính số đo góc BAC.

b) Gọi I là giao điểm của BC và OO’. Tính độ dài OI.

Lời giải:

a)

Ta có: OB // O’C (theo đề bài)

$\Rightarrow \widehat{AOB}+\widehat{AO\text{'}C}={180}^o$ (hai góc trong cùng phía)

Xét đường tròn (O) ta có: OA = OB (= 3cm)

Do đó, tam giác AOB cân tại O

$\Rightarrow \widehat{BAO}=\widehat{OBA}$

Mà: $\widehat{BAO}+\widehat{OBA}+\widehat{BOA}={180}^o$ (tổng ba góc trong cùng một tam giác)

$\Rightarrow 2\widehat{BAO}+\widehat{AOB}={180}^o\Rightarrow \widehat{BAO}=\frac{{180}^o-\widehat{AOB}}{2}$

Xét đường tròn (O’) ta có: O’A = O’C (= 1cm)

Do đó, tam giác AO’C cân tại O’

$\Rightarrow \widehat{CAO\text{'}}=\widehat{O\text{'}CA}$

Mà: $\widehat{CAO\text{'}}+\widehat{O\text{'}CA}+\widehat{CO\text{'}A}={180}^o$ (tổng ba góc trong cùng một tam giác)

$\Rightarrow 2\widehat{CAO\text{'}}+\widehat{AO\text{'}C}={180}^o\Rightarrow \widehat{CAO\text{'}}=\frac{{180}^o-\widehat{AO\text{'}C}}{2}$

Ta có:

$\widehat{BAO}+\widehat{CAO\text{'}}=\frac{{180}^o-\widehat{AOB}}{2}+\frac{{180}^o-\widehat{AO\text{'}C}}{2}=\frac{{360}^o-(\widehat{AOB}+\widehat{AO\text{'}C})}{2}$

$\Rightarrow BAO+CAO\text{'}=\frac{{360}^o-{180}^o}{2}={90}^o\Rightarrow \widehat{BAC}={90}^o$

b)

Xét tam giác IBO, ta có: OB //  O’C

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

$\frac{IO\text{'}}{IO}=\frac{O\text{'}C}{OB}\Rightarrow \frac{IO\text{'}}{IO}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{IO-IO\text{'}}{IO}=\frac{3-1}{3}\Rightarrow \frac{OO\text{'}}{IO}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow IO=\frac{OO\text{'}.3}{2}=\frac{4.3}{2}=6$ (cm)