Cho hai đường tròn (O; 3cm) và (O’; 4cm) có OO’ = 5cm

Giải SBT Toán 9 Bài 8: Vị trí tương đối của hai đường tròn (Tiếp theo)

Bài 8.2 trang 170 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) Hai đường tròn (O) và (O’) có vị trí tương đối nào ?

b) Tính độ dài dây chung của hai đường tròn.

Lời giải:

a)

Ta có: OO’ = 5cm < 3cm + 4cm = 7cm nên hai đường tròn (O; 3cm) và (O’; 4cm) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

b)

Gọi A và B là giao điểm của hai đường tròn (O) và (O’), H là giao điểm của AB và OO’.

Có

$O{A}^2+O\text{'}{A}^2=3^2+4^2=25=5^2=OO{\text{'}}^2$

Do đó, tam giác AOO’ vuông tại A (định lí Py-ta-go đảo)

Do hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung do đó OO’ là đường trung trực của AB nên ta có:

AH ⏊ OO’ và AB = 2AH.

Xét tam giác AOO’ vuông tại A có đường cao AH

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$AH.OO\text{'}=OA.O\text{'}A\Rightarrow AH=\frac{OA.O\text{'}A}{OO\text{'}}=\frac{3.4}{5}\Rightarrow AH=2,4\left(cm\right)$

Vậy AB = 2AH = 2.2,4 = 4,8 (cm)

*Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất hai đường tròn cắt nhau.

Định lí Pi-ta-go đảo.

Hệ thức lượng trong tam giác vuông.

*Lý thuyết:

1. Hai đường tròn cắt nhau

Nếu hai đường tròn có đúng một điểm chung thì ta gọi đó làhai đường tròn cắt nhau. Hai điểm chung đó là haigiao điểmcủa chúng.

Hai đường tròn (O;R) và (O;R’) cắt nhau khi

$R-R^{\prime }<O{O}^{\prime }<R+R^{\prime }$(với$R>R^{\prime }$)

Ví dụ:Cho OO’ = 5cm, khi đó hai đường tròn (O;4cm) và (O’;3cm) cắt nhau vì:

4cm – 3cm = 1cm < 5cm < 7cm = 4cm + 3cm.

2. Hai đường tròn tiếp xúc với nhau

Nếu hai đường tròn có duy nhất một điểm chung thì ta nói đó làhai đường tròn tiếp xúc với nhau. Điểm chung đó gọi làtiếp điểmcủa chúng.

+ Hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài khi$O{O}^{\prime }=R+R^{\prime }$.

+ Hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc trong khi$O{O}^{\prime }=R-R^{\prime }\left(R>R^{\prime }\right)$.

Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì tiếp điểm thẳng hàng với hai tâm.

Ví dụ:

Cho OO’ = 5cm, khi đó hai đường tròn (O;3cm) và (O’;2cm) tiếp xúc ngoài với nhau vì 5cm = 3cm + 2cm.

Cho OO’ = 3cm, khi đó hai đường tròn (O;8cm) và (O’;5cm) tiếp xúc trong với nhau vì 3cm = 8cm - 5cm.

3. Hai đường tròn không giao nhau

Nếu hai đường tròn không có điểm chung nào thi ta nói đó là hai đường tròn không giao nhau.

- Hai đường tròn (O;R) và (O’;R’)ngoài nhaukhi$O{O}^{\prime }>R+R^{\prime }$;

- Đường tròn (O;R)đựngđường tròn (O’;R’) khi$R>R^{\prime }$và$O{O}^{\prime }<R-R^{\prime }$.

Khi O trùng với O’ và$R\ne R^{\prime }$thì ta có hai đường trònđồng tâm.

Ví dụ:Cho đường tròn (O;3cm) và (O’;4cm) có$O{O}^{\prime }>8cm$thì$O{O}^{\prime }=8cm>3cm+4cm=R+R^{\prime }$nên (O;3cm) và (O’;4cm) là hai đường tròn ngoài nhau.