Cho hai đường tròn (O; 2cm), (O’; 3cm), OO’ = 6cm

Giải SBT Toán 9 Bài 8: Vị trí tương đối của hai đường tròn (Tiếp theo)

Bài 78 trang 170 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) Hai đường tròn (O) và (O’) có vị trí tương đối như thế nào với nhau?

b) Vẽ đường tròn (O’; 1cm) rồi kẻ tiếp tuyến OA với đường tròn đó (A là tiếp điểm). Tia O’A cắt đường tròn (O’; 3cm) ở B. Kẻ bán kính OC của đường tròn (O) song song với O’B, B và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ OO’. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O; 2cm), (O’; 3cm).

c) Tính độ dài BC

d) Gọi I là giao điểm của BC và OO’. Tính độ dài IO

Lời giải:

a)

Vì OO’ = 6 > 2 + 3 hay OO’ > R + R’ nên hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau

b) Xét tứ giác ABCO ta có:

AB // CO (gt)    (1)

Mà : AB = O’B – O’A = 3 – 1 = 2    (cm)

$\Rightarrow$ AB = OC = 2 (cm) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ABCO là hình bình hành

Lại có: OA $\perp$ O’A (tính chất tiếp tuyến)

$\Rightarrow \widehat{OAO\text{'}}={90}^o\Rightarrow \widehat{OAB}={90}^o$

Do đó, tứ giác ABCO là hình chữ  nhật

$\Rightarrow \widehat{OCB}=\widehat{ABC}={90}^o$

$\Rightarrow$ BC $\perp$ OC và BC $\perp$ O’B

c)

Vậy BC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)

Vì tứ giác ABCO là hình chữ nhật nên OA = BC

Xét tam giác OAO’ vuông tại A

Áp dụng định lí Pitago, ta có:

$OO{\text{'}}^2=O{A}^2+O\text{'}{A}^2\Rightarrow O{A}^2=OO{\text{'}}^2-O\text{'}{A}^2=6^2-1^2=35\Rightarrow OA=\sqrt{35}\left(cm\right)$

Vậy BC = OA = $\sqrt{35}$ (cm)

d)

Trong tam giác O’BI có OC // O’B

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

$\frac{IO}{IO\text{'}}=\frac{OC}{O\text{'}B}\Rightarrow \frac{IO}{IO\text{'}-IO}=\frac{OC}{O\text{'}B-OC}\Rightarrow \frac{IO}{O\text{'}O}=\frac{2}{3-2}=2\Rightarrow IO=2OO\text{'}=2.6=12\left(cm\right)$