Cho đa thức G=1/2x^2 +bx+23 với b là một số cho trước sao cho 1/2+b là số nguyên

Giải SBT Toán 8Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến

Bài 7* trang 8 SBT Toán 8 Tập 1:Cho đa thức $G=\frac{1}{2}{x}^2+bx+23$ với b là một số cho trước sao cho $\frac{1}{2}+b$ là số nguyên. Chứng tỏ rằng: G luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên x.

Lời giải:

Ta có: $G=\frac{1}{2}{x}^2+bx+23=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+bx+23$

$=\left(\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x\right)+\left(\frac{1}{2}x+bx\right)+23$

$=\frac{x^2-x}{2}+\left(\frac{1}{2}+b\right)x+23$

$=\frac{(x-1)x}{2}+\left(\frac{1}{2}+b\right)x+23$.

Do trong hai số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 2 nên $\frac{\left(x-1\right)x}{2}$ luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên x.

Mà $\frac{1}{2}+b$ là số nguyên, suy ra $\frac{\left(x-1\right)x}{2}+\left(\frac{1}{2}+b\right)x+23$ luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên x.

Vậy G luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên x.