Cho ∆ABC có AD, BE, CF lần lượt là đường phân giác của góc A, góc B, góc C

Giải SBT Toán 8 Bài 17: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 4.13 trang 52 SBT Toán 8 Tập 1:Cho ∆ABC có AD, BE, CF lần lượt là đường phân giác của góc A, góc B, góc C (D ∈ BC, E ∈ AC, F ∈ AB). Chứng minh rằng:$\frac{AE}{EC}\cdot \frac{CD}{DB}\cdot \frac{BF}{FA}=1.$

Lời giải:

Trong ∆ABC có AD là phân giác của $\widehat{BAC}$ nên $\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}$ (tính chất đường phân giác của tam giác).

Tương tự, ta có BE, CF lần lượt là tia phân giác của $\widehat{B},\widehat{C}$.

Suy ra $\frac{EA}{EC}=\frac{BA}{BC};\frac{FB}{FA}=\frac{CB}{CA}$.

Do đó: $\frac{AE}{EC}\cdot \frac{CD}{DB}\cdot \frac{BF}{FA}=\frac{BA}{BC}\cdot \frac{AC}{AB}\cdot \frac{CB}{CA}=1$