50 Bài tập Hàm số lũy thừa Toán 12 mới nhất

Bài tập Hàm số lũy thừa - Toán 12

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số

A. x=4 và x = $\frac{8}{7}$ .   

B. x=4.   

C. x=2.    

D. x=2 và x = $\frac{4}{9}$ .

Lời giải:

Ta thấy y’ đổi dấu khi đi qua 2 điểm x=4 và x = $\frac{8}{7}$ nên đây là 2 điểm cực trị của các hàm số đã cho.

Chọn đáp án A.

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

A. max y = 2$\sqrt{2}$ , min y = $\sqrt[4]{2}$ .   

B.max y=2, min y=0.

C. max y = 2$\sqrt{2}$ , min y=0   

D.max y=2, min y= $\sqrt[4]{2}$ .

Lời giải:

Tập xác định D = [-1;1].

Chọn đáp án D

Bài 3: Hàm số nào sau đây đồng biến trên (0; +∞) ?

Lời giải:

Hàm số y = xα đồng biến trên (0; +∞) khi và chỉ khi α > 0 .

Hàm số 

nên hàm số đồng biến trên (0; +∞).

Chọn C.

Bài 4: Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Viết lại sao cho hai vế của mỗi bất đẳng thức đều là lũy thừa cùng số mũ. Lưu ý, từ tính đơn điệu của hàm số lũy thừa y = xα , ta có

• Nếu α > 0 thì aα < bα ⇔ a < b

• Nếu α < 0 thì a < b ⇒ aα > bα

Suy ra, D đúng.

Chọn D

Bài 5: Số nào sau đây là lớn hơn 1?

Lời giải:

Lưu ý với

Do đó, trong các số đã cho thì (0,4)-0,3 > 1

Chọn B.

Bài 6: Sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần:

A. d,c,a,b.   

B.d,c,b,a.   

C. c,d,b,a.   

D.c,a,b,d.

Lời giải:

Bài 7: Tìm đạo hàm của hàm số

Lời giải:

Bài 8: Cho α là một số thực và hàm số  đồng biến trên (0; +∞). Khẳng định nào sau đây là đúng

A. α < 1    

B. 0 < α < $\frac{1}{2}$    

C. $\frac{1}{2}$ < α < 1   

D. α > 1

Lời giải:

Hàm số đồng biến khi và chỉ khi

Chọn đáp án B

Bài 9: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:

A. b,c,d,a    

B. a,b,c,d    

C.c,d,a,b.   

D. d,b,c,a.

Lời giải:

Viết lại các số dưới dạng cùng căn bậc 6:

Do 12 < 18 < 24 < 54 nên d < b < c < a các số theo thứ tự tăng dần là d,b,c,a.

Chọn đáp án D.

Bài 10: Tìm đạo hàm của hàm số

Lời giải:

Viết lại hàm số dưới dạng lũy thừa y = (x² + x + 1)-$\frac{1}{3}$ .

Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp ta có

Chọn đáp án B.

II.Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Tìm đạo hàm của hàm số

Lời giải:

Viết lại hàm số dưới dạng lũy thừa

Bài 2: Đồ thị hàm số y = $x^{\frac{1}{4}}$ cắt đường thẳng y=2x tại một điểm nằm bên phải trục tung. Tìm tọa độ điểm này.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

Bài 3: Đường thẳng x = α ( α là số thực dương) cắt đồ thị các hàm số

lần lượt tại hai điểm A và B. Biết rằng tung độ điểm A bé hơn tung độ điểm B. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Từ giả thiết suy ra f(α) < g(α)

Nhận xét. Ở đây ta sử dụng tính chất:

Nếu a > 1 thì aα > aβ <=> α > β ;

Nếu 0 < a < 1 thì aα > aβ <=> α < β .

Học sinh có thể không áp dụng tính chất trên mà giải tiếp:

Bài 4: Cho hàm số

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên (0;2).

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (5; +∞) .

C. Hàm số đồng biến trên (2; +∞) .

D. Hàm số không có điểm cực trị nào.

Lời giải:

Ta có

Ta thấy y'(x) < 0 <=> x > 2 nên hàm số nghịch biến trên (2; +∞) , và do đó, hàm số nghịch biến trên (5; +∞) .

Bài 5: Tìm các điểm cực trị của hàm số $y=x^{\frac{3}{4}}-2x^{\frac{1}{4}},x>0$

Lời giải:

 

y’ đổi dấu khi qua điểm x = $\frac{4}{9}$ nên hàm số có một điểm cực trị là x = $\frac{4}{9}$ .

Bài 6: Tìm các điểm cực trị của hàm số

Lời giải:

y'= 0 <=> x² + x - 2 = 0 <=> x = -2 (loại) hoặc x = 1

y' đổi dấu khi đi qua điểm x = 1 nên hàm số có một điểm cực trị là x = 1

Bài 7: Tìm các điểm cực trị của hàm số

Lời giải:

y’ đổi dấu khi đi qua điểm x = $\frac{3}{2}$ nên hàm số có một điểm cực trị là x = $\frac{3}{2}$

Bài 8: Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 

Lời giải:

Tập xác định D = [0; 1]

Ta có:

y(0) = y(1) = 1; y($\frac{1}{2}$) = $\sqrt[4]{8}$. Từ đó max y = y($\frac{1}{2}$) = $\sqrt[4]{8}$, min y = y(0) = 1

Bài 9: Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = $x^{\frac{2}{3}}$(20 - x) trên đoạn [1; 10]

Lời giải:

y' = 0 <=> x = 8

Ta có: y(1) = 19, y(8) = 48, y(10) = $\frac{105}{3}$ ≈ 46,6 > 19

Từ đó:

Bài 10: Với là một số thực dương và hàm số

nghịch biến trên khoảng (0; +∞). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Hàm số

nghịch biến trên (0; +∞) nên $\sqrt[4]{\alpha }$ - 2α < 0

III.Bài tập vận dụng

Bài 1

Bài 2 Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = $\sqrt{x}-\sqrt[4]{x}$, x > 0

Bài 3 Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của các hàm số sau và nêu nhận xét về tập xác định của chúng: y =x² ,y = $x^{\frac{1}{2}}$, y = $x^{-1}$.

Bài 4 Tìm tập xác định của các hàm số:

Bài 5 Tính đạo hàm của các hàm số:

Bài 6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

Bài 7 Hãy so sánh các số sau với 1:

a) (4,1)^2,7;

b) (0,2)^0,3;

c) (0,7)^3,2;

d) ($\sqrt{3}$)^0,4

Bài 8 Tìm tập xác định của hàm số sau:

a) $y=(1-x{)}^{-\frac{1}{3}}$

b) $y=(2-x^2{)}^{\frac{3}{5}}$

c) $y=(x^2-1{)}^{-2}$

d) $y=(x^2-x-2{)}^{\sqrt{2}}$

Bài 9 Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của các hàm số sau và nêu nhận xét về tập xác định của chúng: y =$x^2$^, y = $x^{\frac{1}{2}}$, y = $x^{-1}$.

Bài 10 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) $y=x^{\frac{4}{3}}$

b) $y=x^{-3}$