Với những giá trị nào của x thì giá trị của hai biểu thức

Giải SBT Toán 9 Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Bài 28 trang 55 SBT Toán 9 Tập 2:Với những giá trị nào của x thì giá trị của hai biểu thức sau bằng nhau?

a) x² + 2 + 2$\sqrt{2}$và 2(1 + $\sqrt{2}$)x

b) $\sqrt{3}$x² + 2x – 1 và 2$\sqrt{3}$x + 3

c) –2$\sqrt{2}$x – 1 và $\sqrt{2}$x² + 2x +3

d) x² – 2$\sqrt{3}$x – $\sqrt{3}$và 2x² + 2x + $\sqrt{3}$

e) $\sqrt{3}$x² + 2$\sqrt{5}$x – 3$\sqrt{3}$và –x² – 2$\sqrt{3}$x +2$\sqrt{5}$+1

Lời giải:

a) Ta có: x² +2 + 2$\sqrt{2}$= 2(1 + $\sqrt{2}$)x

⇔ x² – 2(1 +$\sqrt{2}$)x +2 +2$\sqrt{2}$= 0

Δ' = b’² – ac = [–(1 + $\sqrt{2}$)]²– 1(2 + 2$\sqrt{2}$)

= 1 + 2$\sqrt{2}$+ 2 – 2 – 2$\sqrt{2}$= 1 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{1+\sqrt{2}+1}{1}=2+\sqrt{2}$

$x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{1+\sqrt{2}-1}{1}=\sqrt{2}$

Vậy với x =$2+\sqrt{2}$ hoặc x =$\sqrt{2}$ thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau.

b) Ta có: $\sqrt{3}$x² + 2x – 1 = 2$\sqrt{3}$x +$\sqrt{3}$

⇔ $\sqrt{3}$x² + 2x – 2$\sqrt{3}$x – 3 – 1 = 0

⇔ $\sqrt{3}$x² + (2 – 2$\sqrt{3}$)x – 4 =0

⇔ $\sqrt{3}$x² + 2(1 – $\sqrt{3}$)x – 4 = 0

Δ' = b’² – ac = (1– $\sqrt{3}$)² – $\sqrt{3}$(–4) =1 – 2$\sqrt{3}$+ 3 + 4$\sqrt{3}$

= 1 + 2$\sqrt{3}$+ 3 = (1 +$\sqrt{3}$ )²> 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(1-\sqrt{3}\right)+\sqrt{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1$

$x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(1-\sqrt{3}\right)-\sqrt{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}}{\sqrt{3}}=\frac{-2}{\sqrt{3}}=\frac{-2\sqrt{3}}{3}$

Vậy với x = 2 hoặc x = $\frac{-2\sqrt{3}}{3}$thì giá trị hai biểu thức trên bằng nhau.

c) Ta có: –2$\sqrt{2}$x – 1 =$\sqrt{2}$ x² + 2x + 3

⇔ $\sqrt{2}$x² + 2x + 3 + 2$\sqrt{2}$x + 1=0

⇔ $\sqrt{2}$x² + 2(1 + $\sqrt{2}$)x + 4 =0

Δ' = b’² – ac= (1+ $\sqrt{2}$)² – $\sqrt{2}$.4 = 1 + 2$\sqrt{2}$+ 2 – 4$\sqrt{2}$

= 1 –2$\sqrt{2}$+ 2 = ($\sqrt{2}$– 1)² > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(1+\sqrt{2}\right)+\sqrt{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2}}{\sqrt{2}}=\frac{-2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}$

$x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(1+\sqrt{2}\right)-\sqrt{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2}}{\sqrt{2}}=\frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-2$

Vậy với x = $-\sqrt{2}$hoặc x = -2thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau.

d) Ta có: x² – 2$\sqrt{3}$x – = 2x² + 2x +$\sqrt{3}$

⇔ x² – 2$\sqrt{3}$x – $\sqrt{3}$– 2x² – 2x – $\sqrt{3}$=0

⇔ –x² – 2x – 2$\sqrt{3}$x – 2$\sqrt{3}$=0

⇔ x² + 2x + 2$\sqrt{3}$x + 2$\sqrt{3}$=0

⇔ x² + 2(1 +$\sqrt{3}$)x + 2$\sqrt{3}$=0

Δ' = b’² – ac= (1+$\sqrt{3}$ )² – 1. 2$\sqrt{3}$= 1 + 2$\sqrt{3}$+ 3 –2$\sqrt{3}$= 4 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(1+\sqrt{3}\right)+\sqrt{4}}{1}=1-\sqrt{3}$

$x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(1+\sqrt{3}\right)-\sqrt{4}}{1}=-3-\sqrt{3}$

Vậy với x = $1-\sqrt{3}$hoặc x = –3 – $\sqrt{3}$thì giá trị hai biểu thức trên bằng nhau.

e) Ta có: $\sqrt{3}$x² + 2$\sqrt{5}$x – 3$\sqrt{3}$= –x² – 2$\sqrt{3}$x + 2$\sqrt{5}$+ 1

⇔ $\sqrt{3}$x² + 2$\sqrt{5}$x – 3$\sqrt{3}$+ x² + 2$\sqrt{3}$x – 2$\sqrt{5}$– 1 = 0

⇔ ($\sqrt{3}$+ 1)x² + (2$\sqrt{5}$+ 2$\sqrt{3}$)x – 3$\sqrt{3}$– 2$\sqrt{5}$– 1 = 0

⇔ ($\sqrt{3}$+1)x² + 2($\sqrt{5}$+ $\sqrt{3}$)x – 3$\sqrt{3}$– 2$\sqrt{5}$– 1 = 0

Δ' = b’² – ac = ($\sqrt{3}$+ $\sqrt{5}$)² – ($\sqrt{3}$+ 1)( –3$\sqrt{3}$– 2$\sqrt{5}$– 1)

= 5 + 2$\sqrt{15}$+ 3 + 9 + 2$\sqrt{15}$+ $\sqrt{3}$+ 3$\sqrt{3}$+ 2$\sqrt{5}$+ 1

=18 + 4$\sqrt{15}$+ 4$\sqrt{3}$+ 2$\sqrt{5}$

= 1 + 12 + 5 + 2.2$\sqrt{3}$+ 2$\sqrt{5}$+ 2.2$\sqrt{3}$.$\sqrt{5}$

= 1 + (2$\sqrt{3}$)² + ($\sqrt{5}$)² + 2.1.2$\sqrt{3}$+ 2.1.$\sqrt{5}$ + 2.2$\sqrt{3}$.$\sqrt{5}$

= (1 + 2$\sqrt{3}$+ $\sqrt{5}$)² > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)+\sqrt{{\left(1+2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}^2}}{\sqrt{3}+1}=1$

$x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)-\sqrt{{\left(1+2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}^2}}{\sqrt{3}+1}=\frac{-1-3\sqrt{3}-2\sqrt{5}}{\sqrt{3}+1}$

Vậy với x = 1 hoặc x = $\frac{-1-3\sqrt{3}-2\sqrt{5}}{\sqrt{3}+1}$thì giá trị hai biểu thức bằng nhau.