Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm

Giải SBT Toán 9 Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Bài 3 trang 56 SBT Toán 9 Tập 2:Chứng tỏ rằng phương trình (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm

Lời giải:

$\left(x-a\right)\left(x-b\right)+\left(x-b\right)\left(x-c\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)=0$

$\iff x^2-bx-ax+ab+x^2-cx-bx+bc+x^2-ax-cx+ac=0$

$\iff 3x^2-2\left(a+b+c\right)x+ab+bc+ac=0$

$\Delta \text{'}={\left(a+b+c\right)}^2-3\left(b+bc+ca\right)$

=$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-3ab-3bc-3ac$

=$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$

$=\frac{1}{2}\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\right)$

$=\frac{1}{2}\left.\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\right]$

=$\frac{1}{2}\left.{\left(a-b\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2+{\left(c-a\right)}^2\right]$

Ta có: ${\left(a-b\right)}^2\ge 0;{\left(b-c\right)}^2\ge 0;{\left(c-a\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow {\left(a-b\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2+{\left(c-a\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow \Delta \text{'}=\frac{1}{2}\left.{\left(a-b\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2+{\left(a-c\right)}^2\right]\ge 0$

Vậy phương trình luôn vô nghiệm.