Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để phương trình

Giải SBT Toán 9 Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Bài 2 trang 56 SBT Toán 9 Tập 2:Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để phương trình (b² + c²)x² – 2acx + a² – b² = 0 có nghiệm.

Lời giải:

Trường hợp 1: Nếu b = 0; c = 0 thì a² = 0 phương trình vô số nghiệm

Trường hợp 2: Nếu b$\ne 0$ hoặc c$\ne 0$ ta có:

$\Delta ={\left(-ac\right)}^2-\left(b^2+c^2\right)\left(a^2-b^2\right)$

$a^2{c}^2-a^2{b}^2+b^4-a^2{c}^2+b^2{c}^2$

$=-a^2{b}^2+b^4+c^2{b}^2$

$=b^2\left(-a^2+b^2+c^2\right)$

$\Delta \text{'}\ge 0\Rightarrow b^2\left(-a^2+b^2+c^2\right)\ge 0$

=

Vì $b^2\ge 0\Rightarrow -a^2+b^2+c^2\ge 0\iff b^2+c^2\ge a^2$

Vậy với $a^2\le b^2+c^2$thì phương trình đã cho có nghiệm.