Với a dương

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Liên hệ giữ phép chia và phép khai phương

Bài 46 trang 12 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Với a dương, chứng minh a +$\frac{1}{a}$ ≥  2

Lời giải:

Cách 1:

Với a > 0 nên  $\sqrt{a}$ xác định

Ta có:

 ${\left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2={\left(\sqrt{a}\right)}^2-2.\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}+{\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2$

$=a-2+\frac{1}{a}=a+\frac{1}{a}-2$

Vì ${\left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2\ge 0$ với mọi a dương nên $a+\frac{1}{a}-2\ge 0$

$\iff a+\frac{1}{a}\ge 2$(điều phải chứng minh)

Cách 2: Do a dương nên $\frac{1}{a}$ dương.

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số a và

Ta có:

a + $\frac{1}{a}\ge 2\sqrt{a.\frac{1}{a}}=2$

$\Rightarrow a+\frac{1}{a}\ge 2$ (điều phải chứng minh).