Với a ≥ 0 và b ≥ 0, chứng minh

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Liên hệ giữ phép chia và phép khai phương

Bài 45 trang 12 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Với a ≥ 0 và b ≥ 0, chứng minh $\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$

Lời giải:

Vì a ≥ 0 nên $\sqrt{a}$ xác định,

b ≥ 0 nên $\sqrt{b}$ xác định

Ta có: ($\sqrt{a}$ - $\sqrt{b}$ )² ≥ 0

⇒ a - 2$\sqrt{ab}$ + b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2$\sqrt{ab}$

⇒ a + b + a + b ≥ a + b + 2$\sqrt{ab}$

⇒ 2(a + b) ≥  ${\left(\sqrt{a}\right)}^2$ + 2$\sqrt{ab}$ + ${\left(\sqrt{b}\right)}^2$

$\iff 2\left(a+b\right)\ge {\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2\iff \frac{a+b}{2}\ge \frac{{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2}{4}$

$\iff \sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge \sqrt{\frac{{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2}{4}}\iff \sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$