Trong tam giác đều ABC (h.13),vẽ những cung tròn

Giải SBT Toán 9 Bài 10: Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

Bài 71 trang 1113 SBT Toán 9 Tập 2:Trong tam giác đều ABC (h.13),vẽ những cung tròn đi qua tâm của tam giác và từng cặp đỉnh của nó. Cho biết cạnh tam giác bằng a, tính diện tích hình hoa thị gạch sọc.

Lời giải:

Diện tích hình hoa thị bằng tổng diện tích ba hình viên phân trừ diện tích tam giác đều ABC

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC, H là trung điểm AC, lấy O’ đối xứng với O qua H.

$\Rightarrow OA=OB=OC$

Vì tam giác ABC đều nên AO, BO, CO là phân giác của góc A, góc B, góc C.

$\widehat{OAC}=\widehat{OCA}=\frac{{60}^o}{2}={30}^o$

$\widehat{AOC}={180}^o-\left({30}^o+{30}^o\right)={120}^o$

Trong tam giác O’HA vuông tại H có:

$\widehat{HO\text{'}A}={60}^o$

$AH=R.\sin \widehat{HO\text{'}A}=R.\sin {60}^o=\frac{R\sqrt{3}}{2}$

$AC=2AH=R\sqrt{3}$

$\Rightarrow R=\frac{AC}{\sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

$O\text{'}H=R.cos{60}^o=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{1}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Diện tích hình quạt là: $S_q=\frac{\pi {\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2.120}{360}=\frac{\pi a^2}{9}$(đơn vị diện tích)

Diện tích tam giác O’CA là: $S_{O\text{'}CA}=\frac{1}{2}O\text{'}H.AC=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{6}.a=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}$(đơn vị diện tích)

Diện tích hình viên phân: $S_{vp}=S_q-S_{O\text{'}CA}=\frac{\pi a^2}{9}-\frac{a^2\sqrt{3}}{12}=\frac{4\pi a^2-3a^2\sqrt{3}}{36}$

Diện tích tam giác đều ABC cạnh a: $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$(đơn vị diện tích)

Diện tích hình hoa thị là: $S=3S_{vp}-S_{ABC}=3.\frac{4\pi R^2-3a^2\sqrt{3}}{36}-\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2}{6}\left(2\pi -3\sqrt{3}\right)$

(đơn vị diện tích)