Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d

Giải Toán 11 Bài 5: Phép quay

Video Giải Bài tập 2 trang 19 SGK Toán lớp 11 Hình học

Bài tập 2 trang 19 SGK Toán lớp 11 Hình học:

Lời giải:

Ta có A(2; 0) thuộc tia Ox.

Gọi $Q_{\left(O,90°\right)}\left(A\right)=B$ thì B thuộc tia Oy và OA = OB nên B(0; 2).

Vậy ảnh của A qua phép quay tâm O góc 90^o là B(0; 2).

Lấy A(2; 0), B(0; 2) thuộc d

Ta có: $Q_{\left(O,90°\right)}\left(A\right)=B\Rightarrow B\left(0;2\right)$

$Q_{\left(O,90°\right)}\left(B\right)=A\text{'}\Rightarrow A’\left(-2;0\right)$

Do đó $Q_{\left(O,90°\right)}$  biến đường thẳng AB thành đường thẳng BA′ hay biến đường thẳng d thành đường thẳng BA′.

Mà B(0; 2), A′(−2; 0) nên đường thẳng A’B có phương trình   $\frac{x}{-2}+\frac{y}{2}=1$

Suy ra x – y + 2 = 0

Vậy ảnh của d qua phép quay tâm O góc 90^o là A’B: x – y + 2 = 0

Cách khác:

Gọi d' là ảnh của d qua $Q_{\left(O,90°\right)}$

Dễ thấy A(2; 0) thuộc d vì 2 + 0 – 2 = 0.

$Q_{\left(O,90°\right)}\left(A\right)=B$suy ra B(0;2) thuộc d’.

Vậy ảnh của A qua phép quay tâm O góc 90^o là B(0; 2).

Do $d\text{'}=Q_{\left(O,90°\right)}\left(d\right)$ suy ra (d, d′) = 90^o

Suy ra  $d\text{'}\perp d$

Mà  $\overrightarrow{n_d}=(1;1)$ suy ra $\overrightarrow{n_{d\text{'}}}=(1;-1)$ là vectơ pháp tuyến của d'.

d' đi qua B(0;2) và nhận (1;-1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: 1(x - 0) - 1(y - 2) = 0 hay x – y + 2 = 0.

Vậy ảnh của d qua phép quay tâm O góc 90^o là d’: x – y + 2 = 0