Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ – Toán 10 Cánh diều

Lý thuyết Toán 10 Bài 4. Tổng và hiệu của hai vectơ – Cánh diều

A. Lý thuyết

1. Tổng của hai vectơ

1.1. Định nghĩa

– Với ba điểm bất kì A, B, C, vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$và $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$, kí hiệu là $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$= $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$.

– Cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$= $\overrightarrow{\mathrm{a}}$và $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$= $\overrightarrow{\mathrm{b}}$. Vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$. Ta kí hiệu tổng của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$là $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{b}}$. Vậy $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$= $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

Phép lấy tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

Ví dụ:Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Tính:

a) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$

b) $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$

Hướng dẫn giải:

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD và AB = CD.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$= $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$= $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$= $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$.

b) Vì A, O, C thẳng hàng (O là trung điểm của đường chéo AC)

⇒$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$= $\overrightarrow{\mathrm{CO}}$.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$= $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{CO}}$= $\overrightarrow{\mathrm{BO}}$.

1.2. Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$+$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$= $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.

Ví dụ: Chứng minh quy tắc hình bình hành.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$= $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$.

Suy ra: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$+$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$= $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$= $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.

1.3. Tính chất

Với ba vectơ tùy ý $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{a}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$= $\overrightarrow{\mathrm{b}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$(tính chất giao hoán) ;

($\overrightarrow{\mathrm{a}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$) + $\overrightarrow{\mathrm{c}}$= $\overrightarrow{\mathrm{a}}$+ ($\overrightarrow{\mathrm{b}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{c}}$) (tính chất kết hợp);

$\overrightarrow{\mathrm{a}}$+ $\overrightarrow{0}$= $\overrightarrow{0}$+ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$= $\overrightarrow{\mathrm{a}}$(tính chất của vectơ–không).

Chú ý: Tổng ba vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{c}}$được xác định theo một trong hai cách sau:

($\overrightarrow{\mathrm{a}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$) + $\overrightarrow{\mathrm{c}}$hoặc $\overrightarrow{\mathrm{a}}$+ ($\overrightarrow{\mathrm{b}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{c}}$).

Ví dụ: Cho 5 điểm tùy ý A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}$= $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$.

b) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{EA}}$= $\overrightarrow{\mathrm{CB}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{ED}}$.

Hướng dẫn giải:

a)Ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}$

= $\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}$(áp dụng tính chất giao hoán)

= $\left(\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}\right)$(áp dụng tính chất kết hợp)

= $\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}$(áp dụng quy tắc cộng vectơ)

= $\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}$(áp dụng tính chất giao hoán)

= $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$(áp dụng quy tắc cộng vectơ) (đpcm).

Vậy $\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}$= $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$.

b) Ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{EA}}$

= $\left(\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}\right)+\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\left(\overrightarrow{\mathrm{ED}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}}\right)$(áp dụng quy tắc cộng vectơ)

= $\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}}$(áp dụng tính chất giao hoán)

= $\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}+\left(\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}\right)+\overrightarrow{\mathrm{DA}}$(áp dụng tính chất kết hợp)

= $\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}+\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}}$(áp dụng quy tắc cộng vectơ)

= $\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}+\left(\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}}\right)$(áp dụng tính chất kết hợp)

= $\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}+\overrightarrow{\mathrm{AA}}$

= $\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}+\overrightarrow{0}$(vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau là vectơ–không)

= $\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}$(áp dụng tính chất vectơ–không) (đpcm).

2. Hiệu của hai vectơ

2.1. Hai vectơ đối nhau

Định nghĩa: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$được gọi là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, kí hiệu là –$\overrightarrow{\mathrm{a}}$. Hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$và –$\overrightarrow{\mathrm{a}}$được gọi là hai vectơ đối nhau.

Quy ước: Vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{0}$là vectơ $\overrightarrow{0}$.

Nhận xét:

+) $\overrightarrow{\mathrm{a}}$+ (–$\overrightarrow{\mathrm{a}}$) = (–$\overrightarrow{\mathrm{a}}$) + $\overrightarrow{\mathrm{a}}$= $\overrightarrow{0}$

+) Hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$là hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{\mathrm{a}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$= $\overrightarrow{0}$.

+) Với hai điểm A, B, ta có: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{0}$.

Lưu ý: Cho hai điểm A, B. Khi đó hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$và $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$là hai vectơ đối nhau, tức là $\overrightarrow{\mathrm{BA}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}.$

Chú ý:

– I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{\mathrm{IA}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}}=\overrightarrow{0}$.

– G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}$.

Ví dụ:Cho hình vuông ABCD có tâm O. Tìm vectơ đối của các vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AO}}$.

Hướng dẫn giải:

+ Vì $\left.\overrightarrow{\mathrm{BA}}\right|=\left.\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$= AB và $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ ngược hướng với  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$= –$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

Þ $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$.

+ Vì AB = CD, AB // CD (ABCD là hình vuông)

⇒ $\left.\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\left.\overrightarrow{\mathrm{CD}}\right|$và $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ngược hướng với $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$= –$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

Þ $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$.

Vì A, O, C là ba điểm thẳng hàng và OA = OC (ABCD là hình vuông)

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AO}}$ngược hướng với $\overrightarrow{\mathrm{CO}}$và $\left.\overrightarrow{\mathrm{AO}}\right|=\left.\overrightarrow{\mathrm{CO}}\right|$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{CO}}$= –$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$

Þ $\overrightarrow{\mathrm{CO}}$là vectơ đối của $\overrightarrow{\mathrm{AO}}$.

Vậy $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$, $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$và $\overrightarrow{\mathrm{CO}}$là vectơ đối của $\overrightarrow{\mathrm{AO}}$.

2.2. Hiệu của hai vectơ

Hiệu của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, kí hiệu là $\overrightarrow{\mathrm{a}}$– $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, là tổng của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, tức là $\overrightarrow{\mathrm{a}}$– $\overrightarrow{\mathrm{b}}$= $\overrightarrow{\mathrm{a}}$+ (–$\overrightarrow{\mathrm{b}}$).

Phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ hai vectơ.

Nhận xét: Với ba điểm bất kì A, B, O ta có: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$= $\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$.

Ví dụ:Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$– $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$= $\overrightarrow{\mathrm{DC}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$– $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$= $\overrightarrow{\mathrm{DB}}$(áp dụng quy tắc về hiệu hai vectơ) (1)

$\overrightarrow{\mathrm{DC}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}$= $\overrightarrow{\mathrm{DC}}+\left(-\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right)$= $\overrightarrow{\mathrm{DC}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}$= $\overrightarrow{\mathrm{DB}}$(vectơ đối) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$– $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$= $\overrightarrow{\mathrm{DC}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}$(đpcm).

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{CO}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}$.

Hướng dẫn giải:

+ Vì ABCD là hình vuông nên AB // DC và AB = DC.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}$

Áp dụng quy tắc cộng hai vectơ ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{DC}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{DB}}$

Do đó, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}$= $\overrightarrow{\mathrm{DB}}$.

+ Vì A, O, C cùng nằm trên một đường thẳng và OA = OC (O là tâm hình vuông ABCD).

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{CO}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{CO}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

Áp dụng quy tắc công hai vectơ ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$

Vậy $\overrightarrow{\mathrm{CO}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}$= $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$.

Bài 2. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm của tam giác.

Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}$.

Hướng dẫn giải:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta áp dụng quy tắc trọng tâm có:

$\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}$

⇒ $\left.\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}\right|=\left.\overrightarrow{0}\right|=0$

Vậy độ dài vectơ $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}$là 0.

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}};$

B. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}};$

C. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}};$

D. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án:

- Đáp án A. Ta có $\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}=-\overrightarrow{\mathrm{BC}}$. Vậy A sai.

- Đáp án B sai vì $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$\ne \overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}$.

- Đáp án C. Ta có $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$. Vậy C đúng.

Câu 2. Cho 5 điểm bất kỳ A, B, C, D, E. Tính tổng $\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}$.

A. $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$;

B. $\overrightarrow{\mathrm{CA}}$;

C. $\overrightarrow{\mathrm{EC}}$;

D. $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}$

= $(\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}})+(\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}})$(tính chất giao hoán và kết hợp)

= $\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}$(quy tắc ba điểm)

= $\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}$(tính chất giao hoán)

= $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$.

Câu 3. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Khi đó, $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{BO}}=?$

A. $\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$;

B. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$;

C. $\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{DO}}$;

D. $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Áp dụng tính chất giao hoán và quy tắc ba điểm cho ba điểm A, O, B ta có:$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{BO}}=\overrightarrow{\mathrm{BO}}+\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{BA}}$.

Xét hình bình hành ABCD có: $\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}$

Vậy $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{BO}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}$.