Lý thuyết Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai – Toán 10 Cánh diều

Lý thuyết Toán 10 Bài 5. Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai – Cánh diều

A. Lý thuyết

I. Giải phương trình có dạng $\sqrt{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=\sqrt{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}$(I)

(f(x) = ax² + bx + c và g(x) = mx² + nx + p với a ≠ m)

Để giải phương trình (I) ta làm như sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của (I) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) rồi tìm nghiệm của phương trình này

Bước 2: Thay từng nghiệm của phương trình f(x) = g(x) vào bất phương trình

f(x)≥ 0 hoặc g(x) ≥ 0. Nghiệm nào thoả mãn bất phương trình đó thì giữ lại, nghiệm nào không thoả mãn thì loại đi.

Bước 3: Trên cơ sở những nghiệm giữ lại ở Bước 2, ta kết luận nghiệm của phương trình (I)

Chú ý:

– Trong hai bất phương trình f(x)≥ 0 và g(x) ≥ 0 ta thường chọn bất phương trình dạng đơn giản để thực hiện bước 2.

– Người ta chứng minh được rằng tập hợp (số thực) giữ lại ở Bước 2 chính là tập nghiệm của phương trình (I).

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+2}=\sqrt{\mathrm{x}-2}$(1)

Hướng dẫn giải

Bình phương hai vế của phương trình ta được: ${\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+2$= x – 2 (2)

Ta có: (2) ⇔${\mathrm{x}}^2$– 4x + 4 = ${(\mathrm{x}-2)}^2$= 0

Do đó, phương trình (2) có nghiệm là x = 2.

Thay lần giá trị trên vào bất phương trình x – 2 ≥ 0, ta thấy x = 2 thoả mãn bất phương trình

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 2.

II. Giải phương trình có dạng $\sqrt{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)$(II)

(f(x) = a${\mathrm{x}}^2$+ bx + c và g(x) = dx + e với a ≠ ${\mathrm{d}}^2$)

Để giải phương trình (II), ta làm như sau:

Bước 1: Giải bất phương trình g(x)≥ 0 để tìm tập nghiệm của bất phương trình đó

Bước 2: Bình phương hai vế của phương trình dẫn đến phương trình f(x) = ${\left[\mathrm{g}\right(\mathrm{x}\left)\right]}^2$rồi tìm tập nghiệm của phương trình đó.

Bước 3: Trong những nghiệm của phương trình f(x) = ${\left[\mathrm{g}\right(\mathrm{x}\left)\right]}^2$, ta chỉ giữ lại những nghiệm thuộc tập nghiệm của bất phương trình g(x) ≥ 0. Tập nghiệm giữ lại đó chính là tập nghiệm của phương trình (II).

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+3}$= x – 1

Hướng dẫn giải

Ta có: x – 1 ≥ 0 ⇔x≥ 1

Bình phương hai vế của phương trình, ta được: ${\mathrm{x}}^2$– 4x + 3 = ${(\mathrm{x}-1)}^2$

⇔ x² – 4x + 3 = x² – 2x + 1 ⇔ – 2x + 2 = 0.

Phương trình có hai nghiệm là x = 1, giá trị x = 1 là thoả mãn x ≥ 1

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{4{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}-6}=\sqrt{{\mathrm{x}}^2-6}$;

b) $\sqrt{-{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}-2}=2-\mathrm{x}$.

Hướng dẫn giải

a) Bình phương hai vế của phương trình ta được: 4${\mathrm{x}}^2$– 6x – 6 = ${\mathrm{x}}^2$– 6

⇔3x² – 6x = 0 ⇔$\begin{array}{l}\mathrm{x}=0\\ \mathrm{x}=2\end{array}$. Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình ${\mathrm{x}}^2$– 6 ≥ 0 thì thấy chỉ có nghiệm x = 2 thoả mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}.

b) Ta có: 2 – x ≥ 0 ⇔x ≤ 2

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

–x² + 4x – 2 = (2 – x)² ⇔– x² + 4x – 2 = x² – 4x + 4 ⇔ 2x² – 8x + 6 = 0 ⇔$\begin{array}{l}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=3\end{array}$

Đối chiếu với điều kiện x ≤ 2, ta thấy x = 3 không thoả mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1}.

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2-\mathrm{x}}$+ 2x = 3;

b) $\sqrt{-{\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}-6}+\mathrm{x}=4$.

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{2-\mathrm{x}}$+ 2x = 3 ⇔$\sqrt{2-\mathrm{x}}$= 3 – 2x

Ta có: 3 – 2x≥ 0 ⇔x ≤ $\frac{3}{2}$. Bình phương hai vế của phương trình ta được:

2 – x = ${(3-2\mathrm{x})}^2$⇔2 – x = 9 – 12x + 4${\mathrm{x}}^2$⇔4${\mathrm{x}}^2$– 11x + 7 = 0 ⇔$\begin{array}{l}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=\frac{7}{4}\end{array}$

Đối chiếu với điều kiện, ta thấy chỉ có giá trị x = 1 thoả mãn.

Vậy tập nghiệm S = {1}.

b)

$\sqrt{-{\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}-6}+\mathrm{x}=4$⇔$\sqrt{-{\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}-6}$= 4 – x. Ta có: 4 – x≥ 0 ⇔x ≤ 4.

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

$-{\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}-6$= ${(4-\mathrm{x})}^2$⇔$-{\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}-6$= 16 – 8x + ${\mathrm{x}}^2$⇔ 2${\mathrm{x}}^2$– 15x + 22 = 0

⇔$\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{x}=\frac{11}{2}\end{array}$.

Đối chiếu với điều kiện ta thấy chỉ có nghiệm x = 2 thoả mãn.

Vậy tập nghiệm S = {2}.

Bài 3. Giải phương trình$\sqrt{{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+4}=\sqrt{-2{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+12}$.

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+4\ge 0\\ {\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+4=-2{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+12\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}-4\right)\ge 0\\ 3{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-8=0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}\begin{array}{l}\mathrm{x}\le 1\\ \mathrm{x}\ge 4\end{array}\\ \begin{array}{l}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{x}=\frac{-8}{6}\end{array}\end{array}\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{-8}{6}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = $\left.\frac{-8}{6}\right\}$.

Bài 4. Giải phương trình $\sqrt{3{\mathrm{x}}^2-9\mathrm{x}+1}=\mathrm{x}-2$.

Hướng dẫn giải

$\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}-2\ge 0\\ 3{\mathrm{x}}^2-9\mathrm{x}+1={\left(\mathrm{x}-2\right)}^2\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 2\\ 3{\mathrm{x}}^2-9\mathrm{x}+1={\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 2\\ 2{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}-3=0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 2\\ \left(\mathrm{x}-3\right)\left(2\mathrm{x}+1\right)=0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 2\\ \begin{array}{l}\mathrm{x}=3\left(\mathrm{tm}\right)\\ \mathrm{x}=\frac{-1}{2}\left(\mathrm{ktm}\right)\end{array}\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {3}.

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1.Nghiệm của phương trình $\sqrt{3\mathrm{x}-4}=\sqrt{4-3\mathrm{x}}$là đáp án nào trong số các đáp án sau đây?

A. x = 1;

B. x = 2;

C. x = 3;

D. x = $\frac{4}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: $\begin{array}{l}3\mathrm{x}-4\ge 0\\ 4-3\mathrm{x}\ge 0\end{array}$$\iff$$\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge \frac{4}{3}\\ \mathrm{x}\le \frac{4}{3}\end{array}$$\iff$x = $\frac{4}{3}$

Bình phương hai vế của phương trình ta có: 3x – 4 = 4 – 3x ⇔ 6x = 8 ⇔ x = $\frac{4}{3}$.

Đối chiếu với điều kiện bài toán và thử lại kết quả suy ra phương trình có nghiệm

x = $\frac{4}{3}$.

Câu 2.Nghiệm của phương trình $\sqrt{-10\mathrm{x}+10}=\mathrm{x}-1$là:

A. x = – 12;

B. x = – 6;

C. x = 1;

D. x = 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: $\begin{array}{l}-10\mathrm{x}+10\ge 0\\ \mathrm{x}-1\ge 0\end{array}$$\iff$$\begin{array}{l}\mathrm{x}\le 1\\ \mathrm{x}\ge 1\end{array}$$\iff$x = 1

Khi đó phương trình có thể viết lại như sau: $-10\mathrm{x}+10={(\mathrm{x}-1)}^2$

$\iff$$-10\mathrm{x}+10={\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+1$$\iff$${\mathrm{x}}^2+8\mathrm{x}-9$= 0

$\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=-9\end{array}$.

Kết hợp với điều kiện bài toán và thử lại kết quả ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình.

Câu 3. Tổng các nghiệm của phương trình $\left(\mathrm{x}-2\right)\sqrt{2\mathrm{x}+7}={\mathrm{x}}^2-4$bằng:

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định của phương trình $2\mathrm{x}+7\ge 0\iff \mathrm{x}\ge -\frac{7}{2}.$

Ta có: $\left(\mathrm{x}-2\right)\sqrt{2\mathrm{x}+7}={\mathrm{x}}^2-4\iff \left(\mathrm{x}-2\right)\sqrt{2\mathrm{x}+7}=\left(\mathrm{x}-2\right)\left(\mathrm{x}+2\right)$

$\iff \left(\mathrm{x}-2\right)\left.\sqrt{2\mathrm{x}+7}-\left(\mathrm{x}+2\right)\right]=0\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}-2=0\\ \sqrt{2\mathrm{x}+7}-\left(\mathrm{x}+2\right)=0\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}=2\\ \sqrt{2\mathrm{x}+7}=\mathrm{x}+2\left(1\right)\end{array}$

Giải phương trình

$\left(1\right):\sqrt{2\mathrm{x}+7}=\mathrm{x}+2\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}\ge -2\\ 2\mathrm{x}+7={\left(\mathrm{x}+2\right)}^2\end{array}$$\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}\ge -2\\ 2\mathrm{x}+7={(\mathrm{x}+2)}^2\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}\ge -2\\ 2\mathrm{x}+7={\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+4\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}\ge -2\\ {\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-3=0\end{array}\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge -2\\ \begin{array}{l}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=-3\end{array}\end{array}\iff \mathrm{x}=1.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1, x = 2 nên tổng hai nghiệm của phương trình là 1 + 2 = 3.