Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai – Toán 10 Cánh diều

Lý thuyết Toán 10 Bài 3. Dấu của tam thức bậc hai – Cánh diều

A. Lý thuyết

1. Dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0), ∆ = b² – 4ac.

+ Nếu ∆< 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ℝ

+ Nếu ∆= 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ℝ\ $\left.\frac{-\mathrm{b}}{2\text{a}}\right\}$

+ Nếu ∆> 0 thì f(x) có hai nghiệm x₁, x₂ (x₁ < x₂). Khi đó:

– f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng (–∞; x₁); (x₂; +∞)

– f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng (x₁; x₂).

2. Ví dụ

2.1. Ví dụ 1

Xét dấu của tam thức bậc hai

a) f(x) = 4x² – x + 1;

b) f(x) = x² + 2x + 1.

Hướng dẫn giải

a) Tam thức bậc hai f(x) = 4x² – x + 1 có ∆ = b² – 4ac = (– 1)² – 4.4.1 = –15 < 0, hệ số

a = 4 > 0 nên f(x) > 0 với mọi x ∈ℝ.

b) Tam thức bậc hai f(x) = x² + 2x + 1 có ∆ = b² – 4ac = 2² – 4.1.1 = 0, hệ số a = 1 > 0, nghiệm kép x₀ = – 1 nên f(x) > 0 với mọi x ∈ℝ\ {– 1}.

2.2. Ví dụ 2

Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = x² – 4x + 3.

Hướng dẫn giải

Tam thức bậc hai f(x) = x² – 4x + 3 có ∆ = b² – 4ac = (– 4)² – 4.1.3 = 4 > 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1; x₂ = 3;hệ số a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu như sau:

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Tìm nghiệm và lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai với đồ thị được cho ở mỗi hình.

Hướng dẫn giải

a)

Ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại điểm (2; 0) nên phương trình f(x) = 0 có duy nhất nghiệm x = 2.

Ta thấy đồ thị nằm trên trục hoành nên ta có bảng xét dấu:

b)

Ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt (–4; 0) và (–1; 0) nên phương trình

f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = –4; x₂ = –1.

Trong các khoảng (–∞; –4) và (–1; +∞) thì đồ thị nằm dưới trục hoành nên f(x) < 0, trong khoảng (–4; –1) thì đồ thị nằm trên trục hoành nên f(x) > 0.

Bảng xét dấu:

c)

Ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt (–1; 0) và (2; 0) nên phương trình

f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = –1; x₂ = 2

Trong các khoảng (–∞; –1) và (2; +∞) thì đồ thị nằm trên trục hoành nên f(x) > 0

Trong khoảng (–1; 2) thì đồ thị nằm dưới trục hoành nên f(x) < 0.

Bảng xét dấu:

Bài 2. Khi nào thì tam thức bậc hai $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2+\left(\sqrt{5}-1\right)\mathrm{x}-\sqrt{5}$nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2+\left(\sqrt{5}-1\right)\mathrm{x}-\sqrt{5}=0\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=-\sqrt{5}\end{array}$.

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)>0\iff \mathrm{x}\in \left(-\infty ;-\sqrt{5}\right)\cup \left(1;+\infty \right).$

Bài 3.Tìm giá trị nguyên của x để tam thức f(x) = 2x² – 7x – 9 nhận giá trị âm.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^2-7\mathrm{x}-9=0\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}=-1\\ \mathrm{x}=\frac{9}{2}\end{array}$.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)<0\iff -1<\mathrm{x}<\frac{9}{2}$.Mà x nguyên nên x ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}.

Như vậy, với x nguyên x ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} thì f(x) = 2x² – 7x – 9 < 0.

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1.Tam thức bậc hai $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-2$nhận giá trị không âm khi và chỉ khi

A.$\mathrm{x}\in \left(-\infty ;1\right)\cup \left(2;+\infty \right)$;

B. $\mathrm{x}\in \left.1;2\right]$;

C. $\mathrm{x}\in \left(-\infty ;1\right]\cup \left.2;+\infty \right)$.

D. $\mathrm{x}\in \left(1;2\right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-2=0\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=2\end{array}$.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ge 0\iff 1\le \mathrm{x}\le 2$.

Do đó, $\mathrm{x}\in \left.1;2\right]$.

Câu 2. Tam thức bậc hai $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}-6$nhận giá trị dương khi và chỉ khi

A. $\mathrm{x}\in \left(-\infty ;2\right)$;

B. $\left(3;+\infty \right)$;

C. $\mathrm{x}\in \left(2;+\infty \right)$;

D. $\mathrm{x}\in \left(2;3\right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}-6=0\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{x}=3\end{array}$.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)>0\iff \mathrm{x}\in \left(2;3\right).$

Câu 3. Cho các tam thức $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+4;\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=-{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-4;\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=4-3{\mathrm{x}}^2$. Số tam thức đổi dấu trên ℝ là:

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì f(x) = 0 vô nghiệm, g(x) = 0 vô nghiệm, h(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt nên chỉ có h(x) đổi dấu trên ℝ.