Anonymous

Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ chi tiết – Toán lớp 10 Cánh diều

- asked 2 months agoVotes

0Answers

0Views

Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ - Cánh diều

A. Lý thuyết

I. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

Nếu $\vec{u}$ = (x₁ ; y₁) và $\vec{v}$ = (x₂ ; y₂) thì

$\vec{u}$ + $\vec{v}$ = ( x₁ + x₂ ; y₁ + y₂);

$\vec{u}$ – $\vec{v}$ = ( x₁ – x₂ ; y₁ – y₂);

k $\vec{u}$ = (kx₁; ky₁) với k ∈ ℝ.

Ví dụ: Cho hai vectơ $\vec{u}$ = (– 5 ; 1) và $\vec{v}$ = (2 ; –3). Tìm tọa độ của mỗi vectơ sau:

a) $\vec{u}$ + $\vec{v}$ ;

b) $\vec{u}$ – $\vec{v}$ ;

c) –2 $\vec{v}$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\vec{u}$ + $\vec{v}$ = (–5 + 2 ; 1 + (–3)) = (–3 ; –2).

Vậy $\vec{u}$ + $\vec{v}$ = (–3 ; –2).

b) Ta có $\vec{u}$ – $\vec{v}$ = (–5 – 2 ; 1 – (–3)) = (–7 ; 4).

Vậy $\vec{u}$ – $\vec{v}$ = (–7 ; 4).

c) Ta có –2 $\vec{v}$ = (–2.2 ; –2.(–3)) = (–4 ; 6).

Vậy –2 $\vec{v}$ = (–4 ; 6).

Nhận xét: Hai vectơ $\vec{u}$ = (x₁ ; y₁), $\vec{v}$ = (x₂ ; y₂) ( $\vec{u}$ ≠ $\vec{v}$ ) cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k sao cho x₁ = kx₂ và y₁ = ky₂.

Ví dụ: Hai vectơ $\vec{u}$ = (–1 ; 2) và $\vec{v}$ = (4 ; –8) có cùng phương hay không?

Hướng dẫn giải

Ta thấy 4 = –4.(–1) và –8 = –4.2

Do đó hai vectơ $\vec{u}$ = (–1 ; 2) và $\vec{v}$ = (4 ; –8) cùng phương với nhau.

Vậy hai vectơ $\vec{u}$ = (–1 ; 2) và $\vec{v}$ = (4 ; –8) cùng phương.

II. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm tam giác

– Cho hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B). Nếu M(x_M; y_M) là trung điểm của đoạn thẳng AB thì

$x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}$ ; $y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}$ .

– Cho tam giác ABC có A(x_A ; y_A), B(x_B ; y_B), C(x_C ; y_C). Nếu G(x_G ; y_G) là trọng tâm của tam giác ABC thì

$x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}$ ; $y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}$ .

Ví dụ: Cho tam giác ABC có A(0 ; 3), B(–1 ; –4), C(4 ; –2). Hãy tìm tọa độ trung điểm I của cạnh BC và trọng tâm G của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ trung điểm I của cạnh BC và trọng tâm G của tam giác ABC lần lượt là(x_I ; y_I) và (x_G ; y_G).

Khi đó, vì I là trung điểm của BC nên ta có:

$x_{I} = \frac{x_{B} + x_{C}}{2} = \frac{- 1 + 4}{2} = \frac{3}{2}$ ; $y_{I} = \frac{y_{B} + y_{C}}{2} = \frac{(- 4) + (- 2)}{2} = - 3$ .

Suy ra $I (\frac{3}{2}; - 3)$ .

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \frac{0 + (- 1) + 4}{3} = 1$ ; $y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \frac{3 + (- 4) + (- 2)}{3} = - 1$ .

Suy ra G(1 ; –1).

Vậy $I (\frac{3}{2}; - 3)$ và G(1 ; –1).

III. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Nếu $\vec{u}$ = (x₁; y₁) và $\vec{u}$ = (x₂; y₂) thì $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = x₁x₂ + y₁y₂.

Nhận xét:

a) Nếu $\vec{a}$ = (x; y) thì $\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} . \vec{a}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

b) Nếu A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂) thì AB = $\vec{A B}|$ = $\sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$ .

c) Với hai vectơ $\vec{u}$ = (x₁; y₁) và $\vec{v}$ = (x₂; y₂) đều khác $\vec{0}$ , ta có:

+ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi x₁x₂ + y₁y₂ = 0.

+ cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = $\frac{\vec{u} . \vec{v}}{\vec{u}| . \vec{v}|}$ = $\frac{x_{1} . x_{2} + y_{1} y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} . \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$ .

Ví dụ: Cho hai vectơ = (3 ; –5) và = (5 ; 3).

a) Tính ;

b) Tính .;

c) Tính góc giữa hai vectơ và

Hướng dẫn giải

a) Ta có = = .

Vậy = .

b) Ta có .= 3.5 + (–5).3 = 0.

Vậy .= 0.

c) Ta có cos(, ) = = = = 0.

Suy ra (, ) = 90°.

Vậy và vuông góc với nhau.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. = (2 ; –2) và = (3 ; 5)

a) Tìm tọa độ của vectơ = + .

b) Tìm tọa độ của vectơ = –3– .

Hướng dẫn giải

a) Ta có = + = (2 + 3; –2 + 5) = (5 ; 3).

Vậy = + = (5; 3).

b) Ta có = –3– = (–3.2 – 3; –3.(–2) – 5) = (–9; 1).

Vậy = –3– = (–9; 1).

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(0; 4), B(–1; 3), C(–5; 2).

a) Tìm tọa độ trung điểm I của đọan thẳng AB.

b) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

a) Gọi tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là(x_I; y_I).

Khi đó, vì I là trung điểm của AB nên ta có:

; .

Suy ra .

Vậy .

b) Để chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng ta chứng minh và không cùng phương.

Ta có = (–1 – 0 ; 3 – 4) = (–1 ; –1)

= (–5 – 0 ; 2 – 4) = (–5 ; –2)

Ta thấy nên và không cùng phương

Suy ra ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

c) Gọi tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC lần lượt là (x_G ; y_G).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

; .

Suy ra G(–2 ; 3).

Vậy G(–2 ; 3).

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; –3), C(0; 4).

a) Tính .

b) Giải tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

a) Ta có = (–2 – 1 ; –3 – 2) = (–3 ; –5)

= (0 – 1 ; 4 – 2) = (–1 ; 2)

Khi đó .= –3.(–1) + (–5). 2 = –7.

Vậy .= –7.

b) Ta có = (–3; –5) ⇒ AB = = = .

= (–1; 2) ⇒ AC = = = .

= (0 – (–2) ; 4 – (–3)) = (2; 7) ⇒ BC = = = .

cos(.) = = =

Suy ra (.) ≈122°28’

⇒ ≈ 122°28’.

Ta có = (1 – (–2) ; 2 – (–3)) = (3; 5).

cos(, ) = = =

Suy ra (, ) ≈ 15°1’

⇒ ≈ 15°1’.

Mặt khác = 180° – (+) = 42°31’.

Vậy tam giác ABC có AB = ; AC = ; BC = ; ≈ 122°28’; ≈ 15°1’;= 42°31’.

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho = (– 1; 2), =(5; – 7).Tìm tọa độ của vectơ .

A. (4; – 5);

B. (3; – 3);

C. (6; 9);

D. (– 5; – 14).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là : B

Ta có: 2= 2(–1; 2) = (–2; 4)

2= (– 2 + 5); 4 – 7) = (3; – 3).

Câu 2. Trong hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A (2; –3), I(4; 7). Biết I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ điểm B.

A. I (6; 4);

B. I (2; 10);

C. I (6; 17);

D. I (8; – 21).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là : C

Gọi điểm B có tọa độ (x_B; y_B)

Vì I là trung điểm của AB nênta có :

⇒ B(6; 17).

Câu 3. Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (– 2 + x ; 2), B (3 ; 5 + 2y), C(x ; 3 – y). Tìm tổng 2x + y với x, y để O(0 ; 0) là trọng tâm tam giác ABC?

A. – 7;

B. – 2 ;

C. – 11;

D. .