Lý thuyết Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng – Toán 10 Cánh diều

Lý thuyết Toán 10 Bài 2. Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng – Cánh diều

A. Lý thuyết

1. Hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng y = ${\text{ax}}^2+\mathrm{b}\text{x}+\mathrm{c}$, trong đó a, b, c là những hằng số và a ≠ 0. Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ví dụ:

– Hàm số y = ${\text{2x}}^2+3\mathrm{x}-2$là hàm số bậc hai có hệ số của x² bằng 2, hệ số của x bằng 3 và hệ số tự do bằng –2.

– Hàm số y = 2x – 3 không phải là hàm số bậc số do hệ số của x² ở đây bằng 0.

2. Đồ thị hàm số bậc hai

Đồ thị hàm số bậc hai y = ${\text{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$(a ≠ 0) là một đường parabol có đỉnh là điểm với toạ độ $\left(-\frac{\mathrm{b}}{2\text{a}};-\frac{\mathrm{\Delta }}{4\text{a}}\right)$và trục đối xứng là đường thẳng $\mathrm{x}=-\frac{\mathrm{b}}{2\text{a}}$.

Chú ý: Cho hàm số f(x) = ${\text{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$(a≠ 0), ta có: $-\frac{\mathrm{\Delta }}{4\text{a}}$= f$\left(-\frac{\mathrm{b}}{2\text{a}}\right)$

Để vẽ đồ thị hàm số y = ${\text{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$(a ≠ 0) ta thực hiện các bước:

Bước 1: Xác định toạ độ đỉnh: $\left(-\frac{\mathrm{b}}{2\text{a}};-\frac{\mathrm{\Delta }}{4\text{a}}\right)$;

Bước 2: Vẽ trục đối xứng $\mathrm{x}=-\frac{\mathrm{b}}{2\text{a}}$;

Bước 3: Xác định một số điểm đặc biệt, chẳng hạn: giao điểm với trục tung (có toạ độ (0; c)) và trục hoành (nếu có), điểm đối xứng với điểm có toạ độ (0; c) qua trục đối xứng $\mathrm{x}=-\frac{\mathrm{b}}{2\text{a}}$

Bước 4: Vẽ đường parabol đi qua các điểm đã xác định ta nhận được đồ thị hàm số.

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ${\mathrm{x}}^2-2\text{x}-3$

Hướng dẫn giải

– Tập xác định: D = ℝ

– Ta có: a = 1; b = –2; c = –3; $\mathrm{\Delta }={\mathrm{b}}^2-4\text{a}\mathrm{c}$= ${(-2)}^2$– 4.1.(–3) = 16

– Toạ độ đỉnh I = $\left(-\frac{\mathrm{b}}{2\text{a}};-\frac{\mathrm{\Delta }}{4\text{a}}\right)$= $\left(\frac{2}{2.1};\frac{-16}{4.1}\right)=\left(1;-4\right)$

– Trục đối xứng $\mathrm{x}=-\frac{\mathrm{b}}{2\text{a}}$= 1

– Giao điểm của parabol với trục Oy là A(0; –3)

– Giao điểm của parabol với trục Ox là B (–1; 0); (3; 0)

– Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng x = 1 là D (2; –3)

Vẽ parabol qua các điểm trên:

Chú ý:

Cho hàm số f(x) = ${\text{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$(a≠ 0)

– Nếua > 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{\mathrm{b}}{2\text{a}}\right)$; đồng biến trên khoảng$\left(-\frac{\mathrm{b}}{2\text{a}};+\infty \right)$.

– Nếu a<0 thì hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{\mathrm{b}}{2\text{a}}\right)$; nghịch biến trên khoảng$\left(-\frac{\mathrm{b}}{2\text{a}};+\infty \right)$.

Bảng biến thiên:

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Xác định parabol y = ${\text{ax}}^2+\mathrm{b}\text{x}+4$trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua điểm M(1; 12) và N(–3; 4);

b) Có đỉnh là I(–3; –5).

Hướng dẫn giải

a) Thay x = 1; y = 12 vào phương trình y = ${\text{ax}}^2+\mathrm{b}\text{x}+4$ta được:

12 = a. $1^2$+ b.1 + 4 = a + b = 8 (1)

Thay x = –3; y = 4 vào phương trình y = ${\text{ax}}^2+\mathrm{b}\text{x}+4$ta được:

4 = a.${(-3)}^2$+ (–3).b + 4 = 9a – 3b = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\begin{array}{l}\mathrm{a}+\mathrm{b}=8\\ 9\text{a}-3\mathrm{b}=0\end{array}$$\iff$$\begin{array}{l}\mathrm{a}=2\\ \mathrm{b}=6\end{array}$. Như vậy y = ${\text{2x}}^2+6\text{x}+4$

b) Ta có: Toạ độ đỉnh I $\left(-\frac{\mathrm{b}}{2\text{a}};-\frac{\mathrm{\Delta }}{4\text{a}}\right)$= (–3; –5)

$\mathrm{\Delta }={\mathrm{b}}^2-4\text{a}\mathrm{c}$= ${\mathrm{b}}^2$– 4.a.4 = ${\mathrm{b}}^2$– 16a

$\begin{array}{l}-\frac{\mathrm{b}}{2\text{a}}=-3\\ -\frac{{\mathrm{b}}^2-16\text{a}}{4\text{a}}=-5\end{array}$$\iff$$\begin{array}{l}\mathrm{b}-6\text{a}=0\\ {\mathrm{b}}^2-36\text{a}=0\end{array}$$\iff$$\begin{array}{l}6\mathrm{b}-36\text{a}=0\\ {\mathrm{b}}^2-36\text{a}=0\end{array}$$\iff$${\mathrm{b}}^2$– 6b = 0 $\iff$b(b – 6) = 0

$\iff$$\begin{array}{l}\mathrm{b}=0\\ \mathrm{b}=6\end{array}$$\iff$$\begin{array}{l}\mathrm{a}=0\\ \mathrm{a}=1\end{array}$. Như vậy trường a = 0; b = 0 không thoả mãn, ta chọn được:

a = 1; b = 6 ⇒ phương trình y = x² + 6x + 4.

Bài 2. Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) y = 2x² – 6x + 4;

b) y = –3x² – 6x – 3.

Hướng dẫn giải

a)

– Tập xác định: D = ℝ

– Ta có: a = 2; b = –6; c = 4; $\mathrm{\Delta }={\mathrm{b}}^2-4\text{a}\mathrm{c}$= (– 6)² – 4.2.4 = 4

– Toạ độ đỉnh I = $\left(-\frac{\mathrm{b}}{2\text{a}};-\frac{\mathrm{\Delta }}{4\text{a}}\right)$= $\left(\frac{6}{2.2};\frac{-4}{4.2}\right)=\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$

– Trục đối xứng $\mathrm{x}=-\frac{\mathrm{b}}{2\text{a}}$= $\frac{3}{2}$

– Giao điểm của parabol với trục Oy là A(0; 4)

– Giao điểm của parabol với trục Ox là B (1; 0); (2; 0)

– Chọn một điểm thuộc đồ thị cho x = –1 thay vào y = 2x² – 6x + 4 ta được điểm

D(–1; 12)

Vẽ parabol qua các điểm trên:

b)

– Tập xác định: D = ℝ

– Ta có: a = –3; b = –6; c = –3; $\mathrm{\Delta }={\mathrm{b}}^2-4\text{a}\mathrm{c}$= (– 6)² – 4.(–3).(–3) = 0

– Toạ độ đỉnh I = $\left(-\frac{\mathrm{b}}{2\text{a}};-\frac{\mathrm{\Delta }}{4\text{a}}\right)$= $\left(\frac{6}{2.(-3)};\frac{0}{4.(-3)}\right)=\left(-1;0\right)$

– Trục đối xứng $\mathrm{x}=-\frac{\mathrm{b}}{2\text{a}}$= –1

– Giao điểm của parabol với trục Oy là A(0; –3)

– Giao điểm của parabol với trục Ox là B (–1; 0)

– Chọn một điểm thuộc đồ thị cho x = 1 thay vào y = –3x² – 6x – 3 ta được điểm

D(1; –12)

– Chọn một điểm thuộc đồ thị cho x = –2 thay vào y = –3x² – 6x – 3 ta được điểm

D(–2; –3)

Vẽ parabol qua các điểm trên:

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$$\left(\mathrm{a}\ne 0\right)$có đồ thị như hình sau. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. a > 0, b < 0, c < 0;

B. a > 0, b < 0, c > 0;

C. a > 0, b > 0, c > 0;

D. a < 0, b < 0, c > 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bề lõm hướng lên nên a > 0.

Hoành độ đỉnh parabol $\mathrm{x}=-\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}>0$nên b < 0.

Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên c > 0.

Câu 2. Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào trong các phương án dưới đây?

A. $\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-1$;

B. $\mathrm{y}=-2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-1$;

C. $\mathrm{y}=2{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+1$;

D. $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Parabol có bề lõm hướng lên nên a > 0. Loại đáp án A, B.

Parabol cắt trục hoành tại điểm (1; 0), thay x = 1; y = 0 vào các hàm số ở đáp án C và D:

- Thay x = 1; y = 0 vào $\mathrm{y}=2{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+1$:

0 = 2.1² – 3.1 + 1 (luôn đúng), như vậy điểm (1; 0) thuộc đồ thị hàm số ở đáp án C.

- Thay x = 1; y = 0 vào $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+1$:

0 = 1² – 3.1 + 1 (vô lí), như vậy điểm (1; 0) không thuộc đồ thị hàm số ở đáp án D.

Câu 3. Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây?

A. $\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}-9$;

B. $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-1$;

C. $\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}$;

D. $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-5$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bảng biến thiên có bề lõm hướng lên nên a > 0. Do đó, loại đáp án A và C.

Đỉnh của parabol có tọa độ là (2; – 5). Xét các đáp án còn lại, ta có:

- Thay x = 2; y = – 5 vào phương trình $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-1$:

– 5 = 2² – 4.2 – 1 = – 5. Như vậy điểm (2; – 5) thuộc đồ thị của hàm số.

- Thay x = 2; y = – 5 vào phương trình $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-5$:

– 5 = 2² – 4.2 – 5 = – 9 (Vô lí). Như vậy (2; – 5) không thuộc đồ thị hàm số.