Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ – Toán 10 Cánh diều

Lý thuyết Toán 10 Bài 6. Tích vô hướng của hai vectơ – Cánh diều

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

1.1. Tích vô hướng của hai vectơ có cùng điểm đầu

– Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$là góc giữa hai tia OA, OB và được kí hiệu là $\left(\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)$

– Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$và $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$là một số thực, kí hiệu là $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$.$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$, được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{\mathrm{OA}}.\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\left.\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|.\left.\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)$.

Ví dụ: Cho tam giác ABC đều cạnh 2a có đường cao AH. Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.

Hướng dẫn giải:

Vì tam giác ABC đều nên $\widehat{\mathrm{BAC}}$= 60°

⇒ $\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)$= $\widehat{\mathrm{BAC}}$= 60°

Ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}$= $\left.\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|.\left.\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}$= AB.AC.cos$\widehat{\mathrm{BAC}}$= AB.AC.cos60° = 2a.2a.$\frac{1}{2}$= 2a².

1.2. Tích vô hướng của hai vectơ tùy ý

Định nghĩa:

Cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$khác $\overrightarrow{0}.$Lấy một điểm O và vẽ vectơ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{b}}$(Hình vẽ).

+ Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, kí hiệu $\left(\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$, là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$.

+ Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, kí hiệu $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$là tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$và $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$. Như vậy, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$là một số thực được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$= $\left.\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|.\left.\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$.

Quy ước: Tích vô hướng của một vectơ bất kì với vectơ $\overrightarrow{0}$là số 0.

Chú ý:

+) $\left(\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$= $\left(\overrightarrow{\mathrm{b}},\overrightarrow{\mathrm{a}}\right)$

+) Nếu $\left(\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$= 90° thì ta nói hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$vuông góc với nhau, kí hiệu $\overrightarrow{\mathrm{a}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{b}}$hoặc $\overrightarrow{\mathrm{b}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{a}}$. Khi đó $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$= $\left.\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|.\left.\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|.\cos 90°$= 0.

+) Tích vô hướng của hai vectơ cùng hướng bằng tích hai độ dài của chúng.

+) Tích vô hướng của hai vectơ ngược hướng bằng số đối của tích hai độ dài của chúng.

Ví dụ: Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}$.

Hướng dẫn giải:

+ Vì tam giác ABC vuông cân, mà AB = AC

⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.

⇒ AB ⊥ AC

⇒$\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}$= $\left.\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|.\left.\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|.\cos 90°$= $\left.\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|.\left.\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|.0$= 0

+ Ta có: BC = $\sqrt{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2}$= $\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{a}}^2}$= a$\sqrt{2}$.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}$= $\left.\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|.\left.\overrightarrow{\mathrm{CB}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{CB}}\right)$= a. a$\sqrt{2}$.cos135° = a. a$\sqrt{2}$.$\left(\frac{-\sqrt{2}}{2}\right)$= –a².

2. Tính chất

Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$và số thực k tùy ý, ta có:

+) $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$= $\overrightarrow{\mathrm{b}}$.$\overrightarrow{\mathrm{a}}$(tính chất giao hoán);

+) $\overrightarrow{\mathrm{a}}.\left(\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}\right)=\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{c}}$(tính chất phân phối);

+) $\left(\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{a}}\right)\overrightarrow{\mathrm{b}}=\mathrm{k}\left(\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)=\overrightarrow{\mathrm{a}}.\left(\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$;

+) ${\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2$≥ 0, ${\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2$= 0 ⟺ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$= $\overrightarrow{0}$.

Trong đó, kí hiệu $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{a}}$= ${\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2$và biểu thức này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.

Ví dụ: Cho 4 điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{BD}}=0$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}}$= $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\left(\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$= $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$(tính chất phân phối)

$\overrightarrow{\mathrm{BC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$= $\left(\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right).\overrightarrow{\mathrm{AD}}$= $\overrightarrow{\mathrm{BA}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$= $-\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$(tính chất phân phối)

$\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{BD}}$= $\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\left(\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$= $\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$= $-\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$(tính chất phân phối)

$\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{BD}}$

$=\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

= $\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$(tính chất giao hoán và kết hợp)

= 0

⟺$\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{BD}}=0$(đpcm).

3. Một số ứng dụng

3.1. Tính độ dài của đoạn thẳng

Nhận xét:

Với hai điểm A, B phân biệt, ta có: ${\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2={\left.\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2$.

Do đó độ dài đoạn thẳng AB được tính như sau: AB = $\sqrt{{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2}$

3.2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Nhận xét:

+ Cho hai vectơ bất kì $\overrightarrow{\mathrm{a}}$và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$= 0⟺$\overrightarrow{\mathrm{a}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

Hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}}=0.$+ Hai đường thẳng a và b vuông góc khi và chỉ khi $\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{v}}=0$, trong đó $\overrightarrow{\mathrm{u}}$≠ 0, $\overrightarrow{\mathrm{v}}$≠ 0, giá của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{u}}$song song hoặc trùng với đường thẳng a và giá của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{v}}$song song hoặc trùng với đường thẳng b.

Ví dụ: Cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$vuông góc với nhau và $\left.\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|=1$, $\left.\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|=\sqrt{2}$. Chứng minh hai vectơ 2$\overrightarrow{\mathrm{a}}$– $\overrightarrow{\mathrm{b}}$và $\overrightarrow{\mathrm{a}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Vì $\overrightarrow{\mathrm{a}}$và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$vuông góc với nhau ⟺$\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$= 0

Ta có:

$\left(2\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)\left(\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$= $2{\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}-{\overrightarrow{\mathrm{b}}}^2$= $2{\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2+\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}-{\overrightarrow{\mathrm{b}}}^2$= $2{\left.\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|}^2+\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}-{\left.\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|}^2$

= 2.1² + 0 – ${\left(\sqrt{2}\right)}^2$= 0

Vì tích của hai vectơ 2$\overrightarrow{\mathrm{a}}$– $\overrightarrow{\mathrm{b}}$và $\overrightarrow{\mathrm{a}}$+ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$bằng 0 nên chúng vuông góc với nhau.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O, điểm M tùy ý khác O, A, B và không thuộc AB, biết 4OM² = AB². Sử dụng các kiến thức về vectơ, chứng minh MA ⊥ MB.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

4OM² = AB² ⟺(2OM)² = AB²

⇔ ${\left(2\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right)}^2={\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2$

⇔ ${\left(\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right)}^2={\left(\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right)}^2$

⇔ ${\overrightarrow{\mathrm{MA}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\overrightarrow{\mathrm{MB}}}^2={\overrightarrow{\mathrm{AM}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\overrightarrow{\mathrm{MB}}}^2$

⇔ ${\left.\overrightarrow{\mathrm{MA}}\right|}^2+2\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\left.\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right|}^2={\left.\overrightarrow{\mathrm{AM}}\right|}^2+2\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\left.\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right|}^2$

⇔ ${\mathrm{MA}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\mathrm{MB}}^2={\mathrm{AM}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\mathrm{MB}}^2$

⇔ ${\mathrm{MA}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\mathrm{MB}}^2={\mathrm{AM}}^2-2\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\mathrm{MB}}^2$

⇔ $4\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}=0$

⇔ $\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}=0$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{MB}}$⇒ MA ⊥ MB (đpcm).

Bài 2. Cho tam giác ABC bất kì có I là trung điểm của AB. Chứng minh đẳng thức:

CA² + CB² = 2CI² + $\frac{{\mathrm{AB}}^2}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

VP = 2CI² + $\frac{{\mathrm{AB}}^2}{2}$

⇔ 2VP = 4CI² + AB²

⇔ 2VP= (2CI)² + AB²

⇔2VP = ${\left(2\overrightarrow{\mathrm{CI}}\right)}^2+{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2$

⇔ 2VP = ${\left(\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}\right)}^2$

⇔ 2VP = ${\overrightarrow{\mathrm{CA}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}+{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}^2+{\overrightarrow{\mathrm{AC}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}+{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}^2$

⇔ 2VP = ${\overrightarrow{\mathrm{CA}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}+{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}^2+{\overrightarrow{\mathrm{AC}}}^2-2\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}+{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}^2$

⇔ 2VP = $2{\overrightarrow{\mathrm{CA}}}^2+2{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}^2$

⇔ 2VP = $2{\mathrm{CA}}^2+2{\mathrm{CB}}^2$= VT

⇒ CA² + CB² = 2CI² + $\frac{{\mathrm{AB}}^2}{2}$(đpcm).

Bài 3. Cho tam giác ABC, biết AB = a, AC = 2a, $\widehat{\mathrm{A}}$= 60°. Sử dụng các kiến thức về vectơ, tính độ dài cạnh BC.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng quy tắc hiệu hai vectơ ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

⇒ ${\overrightarrow{\mathrm{BC}}}^2={\left(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)}^2$= ${\overrightarrow{\mathrm{AC}}}^2-2\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2$

Ta có:

${\overrightarrow{\mathrm{AC}}}^2={\left.\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}^2$= AC² = (2a)² = 4a²

${\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2={\left.\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2$= AB² = a²

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}$= $\left.\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|.\left.\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)$= AC.AB.cos$\widehat{\mathrm{BAC}}$= 2a.a.cos60° = 2.a.a.$\frac{1}{2}$= a²

⇒${\overrightarrow{\mathrm{BC}}}^2$= 4a² – 2a² + a² = 3a²

⇒ BC² = ${\left.\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|}^2$= ${\overrightarrow{\mathrm{BC}}}^2$= 3a²

⇒ BC = $\sqrt{3{\mathrm{a}}^2}$= $\mathrm{a}\sqrt{3}$.

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho $\overrightarrow{\mathrm{a}}$và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Xác định góc $\mathrm{\alpha }$giữa hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$khi $\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}=-\left.\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|.\left.\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|.$

A. $\mathrm{\alpha }=180°;$

B. $\mathrm{\alpha }=0°;$

C. $\mathrm{\alpha }=90°;$

D. $\mathrm{\alpha }=45°.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}=\left.\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|.\left.\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$.

Mà theo giả thiết $\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}=-\left.\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|.\left.\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|$, suy ra $\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)=-1\Rightarrow \left(\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)=180°.$

Câu 2. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}.$

A. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2{\mathrm{a}}^2;$

B. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}=-\frac{{\mathrm{a}}^2\sqrt{3}}{2};$

C. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}=-\frac{{\mathrm{a}}^2}{2};$

D. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\frac{{\mathrm{a}}^2}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xác định được góc $\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)$là góc $\widehat{\mathrm{A}}$nên $\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)=60°$(do tam giác ABC đều)

Do đó $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB}.\mathrm{AC}.\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)=\mathrm{a}.\mathrm{a}.\cos 60°=\frac{{\mathrm{a}}^2}{2}.$

Câu 3. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính $\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{BC}}.$

A. $\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{c}}^2}{2};$

B. $\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{{\mathrm{c}}^2+{\mathrm{b}}^2}{2};$

C. $\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{{\mathrm{c}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{a}}^2}{3};$

D. $\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{{\mathrm{c}}^2+{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{a}}^2}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì M là trung điểm của BC suy ra $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2\overrightarrow{\mathrm{AM}}.$

Khi đó $\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right).\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right).\left(\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right).\left(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)=\frac{1}{2}\left({\overrightarrow{\mathrm{AC}}}^2-{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2\right)=\frac{1}{2}\left({\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{AB}}^2\right)=\frac{{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{c}}^2}{2}.$