So sánh các cặp số

Giải Toán 12 Bài 3: Lôgarit

Bài 4 trang 68 Toán lớp 12 Giải tích:

a) ${\log }_{3}5$ và ${\log }_{7}4$;

b) ${\log }_{0,3}2$ và ${\log }_{5}3$;

c) ${\log }_{2}10$ và ${\log }_{5}30$. 

Lời giải:

a) ${\log }_{3}5$ và ${\log }_{7}4$

So sánh bắc cầu với 1.

Cách 1: Vì 5 > 3 > 1

nên ${\log }_{3}5$ > ${\log }_{3}3=1$ 

Lại có 7 > 4 > 1

nên ${\log }_{7}4<{\log }_{7}7=1$

Do đó: ${\log }_{3}5$ > ${\log }_{7}4$

Cách 2: Đặt ${\log }_{3}5$ = a và ${\log }_{7}4$= b

Khi đó: $3^a=3^{{\log }_{3}5}=5>3^1\Rightarrow a>1$

$7^b=7^{{\log }_{7}4}=4<7^1\Rightarrow b<1$

Do đó: a > b hay ${\log }_{3}5$ > ${\log }_{7}4$.

b) ${\log }_{0,3}2$ và ${\log }_{5}3$

So sánh bắc cầu với 0.

Vì 0 < 0,3 < 1 và 2 > 1

nên ${\log }_{0,3}2<{\log }_{0,3}1$ = 0

Lại có 5 > 3 > 1

nên ${\log }_{5}3>{\log }_{5}1$ = 0

Do đó: ${\log }_{0,3}2$ < 0 <  ${\log }_{5}3$

Vậy ${\log }_{0,3}2$ < ${\log }_{5}3$.

c) ${\log }_{2}10$ và ${\log }_{5}30$

So sánh bắc cầu với 3.

Ta có: ${\log }_{2}10>{\log }_{2}8={\log }_2{2}^3=3$

Lại có: ${\log }_{5}30<{\log }_{5}125={\log }_5{5}^3=3$

Do đó: ${\log }_{2}10>3>{\log }_{5}30$

Vậy ${\log }_{2}10>{\log }_{5}30$.