Sách bài tập Toán 7 Bài 3 (Cánh diều): Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 3: Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ - Cánh diều

Giải SBT Toán 7 trang 17 Tập 1

Bài 19 trang 17 SBT Toán 7 Tập 1: Tính:

a) 2⁵;b) (−5)³;c) (0,4)³; d) (−0,4)³;

e) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^5$;g) ${\left(\frac{-1}{3}\right)}^4$;h) (21,5)⁰; i) ${\left(3\frac{1}{2}\right)}^2$.

Lời giải:

a) 2⁵ = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32;

b) (−5)³ = (−5) . (−5) . (−5) = −125;

c) (0,4)³ = (0,4) . (0,4) . (0,4) = 0,064;

d) (−0,4)³ = (−0,4) . (−0,4) . (−0,4) = −0,064;

e) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{1^5}{2^5}=\frac{1}{32}$;

g) ${\left(\frac{-1}{3}\right)}^4=\frac{{(-1)}^4}{3^4}=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{81}$;

h) (21,5)⁰ = 1;

i) ${\left(3\frac{1}{2}\right)}^2={\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{7^2}{2^2}=\frac{49}{4}$.

Bài 20 trang 17 SBT Toán 7 Tập 1:

a) Nếu hai số đối nhau thì bình phương của chúng $\boxed{?}$;

b) Nếu hai số đối nhau thì lập phương của chúng $\boxed{?}$;

c) Lũy thừa chẵn cùng bậc của hai số đối nhau thì $\boxed{?}$;

d) Lũy thừa lẻ cùng bậc của hai số đối nhau thì $\boxed{?}$.

Lời giải:

a) Nếu hai số đối nhau thì bình phương của chúng bằng nhau;

b) Nếu hai số đối nhau thì lập phương của chúng đối nhau;

c) Lũy thừa chẵn cùng bậc của hai số đối nhau thì bằng nhau;

d) Lũy thừa lẻ cùng bậc của hai số đối nhau thì đối nhau.

Giải SBT Toán 7 trang 18 Tập 1

Bài 21 trang 18 SBT Toán 7 Tập 1:

a) 10² . 10³ = 10⁶;

b) (1,2)⁸ : (1,2)⁴ = (1,2)²;

c) ${\left.{\left(-\frac{1}{8}\right)}^2\right]}^4={\left(-\frac{1}{8}\right)}^6$;

d) ${\left(\frac{-5}{7}\right)}^4={\left(\frac{-10}{49}\right)}^2$;

e) 5⁶¹ : (−5)⁶⁰ = 5;

g) (−0,27)³ . (−0,27)² = (0,27)⁵.

Bạn Đức phát biểu: "Trong các đẳng thức trên, chỉ có một đẳng thức đúng". Theo em, phát biểu của bạn Đức đúng không? Vì sao?

Lời giải:

Ta có:

a) 10² . 10³ = 10^{2 + 3} = 10⁵;

b) (1,2)⁸ : (1,2)⁴ = (1,2)^{8 – 4} = (1,2)⁴;

c) ${\left.{\left(-\frac{1}{8}\right)}^2\right]}^4={\left(-\frac{1}{8}\right)}^{2.4}={\left(-\frac{1}{8}\right)}^8$;

d) ${\left(\frac{-5}{7}\right)}^4=\frac{625}{2401}$và ${\left(\frac{-10}{49}\right)}^2=\frac{100}{2401}$;

e) 5⁶¹ : (−5)⁶⁰ = 5⁶¹ : 5⁶⁰ = 5^{61 – 60} = 5¹ = 5;

g) (−0,27)³ . (−0,27)² = (−0,27)^{3 + 2} = (−0,27)⁵.

Do đó chỉ đẳng thức ở câu e đúng.

Vậy phát biểu của bạn Đức là đúng.

Bài 22 trang 18 SBT Toán 7 Tập 1:

a) 343 với cơ số 7;

b) 0,36 với cơ số 0,6 và −0,6;

c) $-\frac{8}{27}$với cơ số $-\frac{2}{3}$;

d) 1,44 với cơ số 1,2 và −1,2.

Lời giải:

a) 343 viết dưới dạng lũy thừa với cơ số 7 là: 343 = 7³;

b) 0,36 viết dưới dạng lũy thừa với cơ số 0,6 và −0,6 là:

0,36 = (0,6)² = (−0,6)²;

c) $-\frac{8}{27}$viết dưới dạng lũy thừa với cơ số $-\frac{2}{3}$là: $-\frac{8}{27}={\left(\frac{-2}{3}\right)}^3$;

d) 1,44 viết dưới dạng lũy thừa với cơ số 1,2 và −1,2 là:

1,44 = (1,2)² = (−1,2)².

Bài 23 trang 18 SBT Toán 7 Tập 1:

Lời giải:

a) 

Vậy ${\left.{\left(0,5\right)}^3\right]}^{\boxed{4}}=0,5^{12}$.

b) 

c) ${\left.{\left(-\frac{5}{7}\right)}^2\right]}^6={\left(-\frac{5}{7}\right)}^{2.6}={\left(-\frac{5}{7}\right)}^{12}$

Vậy ${\left.{\left(-\frac{5}{7}\right)}^2\right]}^6={\left(-\frac{5}{7}\right)}^{\boxed{12}}$.

d) $\frac{16}{81}=\frac{2^4}{3^4}={\left(\frac{2}{3}\right)}^4={\left(-\frac{2}{3}\right)}^4$

Vậy $\frac{16}{81}={\left(-\frac{2}{3}\right)}^{\boxed{4}}$.

Bài 24 trang 18SBT Toán 7 Tập 1

a) (−0,1)² . (−0,1)⁴ và ${\left.{\left(-0,1\right)}^3\right]}^2$;

b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^8:{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$và ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3.{\left(\frac{1}{2}\right)}^3$;

c) 9⁸ : 27³ và 3² . 3⁵;

d) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^7.0,25$và ${\left.{\left(\frac{1}{4}\right)}^2\right]}^4$;

e) ${\left.{\left(-0,7\right)}^2\right]}^3$và ${\left.{\left(0,7\right)}^3\right]}^2$.

Lời giải:

a) Ta có (−0,1)² . (−0,1)⁴ = (−0,1)^{2 + 4} = (−0,1)⁶;

${\left.{\left(-0,1\right)}^3\right]}^2={\left(-0,1\right)}^{3.2}={\left(-0,1\right)}^6$.

Vậy ${\left(-0,1\right)}^2.{\left(-0,1\right)}^4={\left.{\left(-0,1\right)}^3\right]}^2$.

b)

Vậy ${\left(\frac{1}{2}\right)}^8:{\left(\frac{1}{2}\right)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^3.{\left(\frac{1}{2}\right)}^3$.

c) 9⁸ : 27³ = ${\left(3^2\right)}^8:{\left(3^3\right)}^3=3^{2.8}:3^{3.3}$

= 3¹⁶ : 3⁹ = 3^{16 – 9} = 3⁷;

3² . 3⁵ = 3^{2 + 5} = 3⁷.

Vậy 9⁸ : 27³ = 3² . 3⁵.

d)

Vậy ${\left(\frac{1}{4}\right)}^7.0,25$= ${\left.{\left(\frac{1}{4}\right)}^2\right]}^4$.

e) 

Vậy ${\left.{\left(-0,7\right)}^2\right]}^3$= ${\left.{\left(0,7\right)}^3\right]}^2$.

Bài 25 trang 18 SBT Toán 7 Tập 1: Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng lũy thừa của a:

a) ${\left(\frac{5}{13}\right)}^4.\frac{5}{26}.\frac{10}{13}$với $a=\frac{5}{13}$;

b) ${\left(-\frac{3}{4}\right)}^4.{(0,75)}^3$với a = 0,75;

c) ${(-0,36)}^3:\frac{-25}{9}$với $a=\frac{3}{5}$;

d) $4.2:\left(2^3.\frac{1}{16}\right)$với a = 2.

Lời giải:

a)

b) ${\left(-\frac{3}{4}\right)}^4.{(0,75)}^3={\left(\frac{3}{4}\right)}^4.{(0,75)}^3$

= (0,75)⁴ . (0,75)³ = (0,75)^{4 + 3} = (0,75)⁷.

c) 

d) 

Giải SBT Toán 7 trang 19 Tập 1

Bài 26 trang 19 SBT Toán 7 Tập 1:

a) ${\left(\frac{3}{7}\right)}^5.x={\left(\frac{3}{7}\right)}^7$;

b) (0,09)³ : x = − (0,09)².

Lời giải:

a) 

Vậy $x=\frac{9}{49}$.

b) (0,09)³ : x = − (0,09)².

x = (0,09)³ : [− (0,09)²]

x = −[(0,09)³ : (0,09)²]

x = −[(0,09)^{3 – 2}]

x = −0,09.

Vậy x = −0,09.

Bài 27 trang 19SBT Toán 7 Tập 1

a) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{40}$và ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{50}$;

b) 243³ và 125².

Lời giải:

a) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{40}$và ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{50}$

Nhận xét: Với hai số tự nhiên m, n thỏa mãn m > n > 0, ta có:

∙ Nếu 0 < x < 1 thì x^m < xⁿ;

∙ Nếu x > 1 thì x^m > xⁿ.

Do $0<\frac{1}{2}<1$và 40 < 50 nên ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{40}$> ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{50}$

b) 243³ và 125².

Nhận xét: Với số tự nhiên m > 0 và hai số hữu tỉ a, b thỏa mãn a > b > 0, ta có: a^m > b^m.

Ta có: 243³ = ${\left(3^5\right)}^3=3^{5.3}=3^{15}$và 125² = ${\left(5^3\right)}^5=5^{3.5}=5^{15}$.

Do 3 < 5 nên 3¹⁵ < 5¹⁵.

Vậy 243³ < 125².

Bài 28 trang 19SBT Toán 7 Tập 1

Lời giải:

Số lượt truy cập trag web của bạn Na trong tuần thứ nhất là 3 lượt; tuần thứ hai là 3² lượt; …; tuần thứ sáu là 3⁶ lượt.

Như vậy, sau 6 tuần đầu tiên, số lượt truy cập trang web của bạn Na có tất cả là:

3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + 3⁶

= 3 + 6 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1 092 (lượt).

Vậy sau 6 tuần đầu tiên, số lượt truy cập trang web của bạn Na có tất cả là: 1 092 lượt.

Bài 29 trang 19SBT Toán 7 Tập 1:

a) Rút gọn biểu thức A = 1 + 2 + 2¹ + 2² + … + 2²⁵.

b) Một công ty phát triển kĩ thuật số có một thông báo rất hấp dẫn: Cần thuê một nhóm kĩ thuật viên hoàn thành một dự án trong vòng 26 ngày, công việc rất khó khăn nhưng tiền công cho dự án rất thú vị. Nhóm kĩ thuật viên được nhận làm dự án sẽ lựa chọn một trong hai phương án trả tiền công như sau:

- Phương án 1: Nhận một lần và nhận tiền công trước với mức tiền 50 triệu đồng.

- Phương án 2: Ngày đầu nhận 1 đồng, ngày sau nhận gấp đôi ngày trước đó.

Theo em, phương án nào nhận được nhiều tiền hơn? Vì sao?

Lời giải:

a) Ta có: A = 1 + 2 + 2¹ + 2² + … + 2²⁵.

2A = 2 . (1 + 2 + 2¹ + 2² + … + 2²⁵) = 2 + 2¹ + 2² + … + 2²⁶.

Suy ra 2A – A = (2 + 2¹ + 2² + … + 2²⁶) – (1 + 2 + 2¹ + 2² + … + 2²⁵)

= 2 + 2¹ + 2² + … + 2²⁶ – 1 – 2 – 2¹ – 2² – … – 2²⁵

= (2 – 2) + (2¹ – 2¹) + (2² – 2²) + … (2²⁵ – 2²⁵) + 2²⁶ – 1.

= 2²⁶ – 1.

Vậy A = 2²⁶ – 1.

b) Theo phương án 2 ta có: Số tiền nhận ngày thứ nhất là 1 đồng; ngày thứ hai là 2 đồng; ngày thứ ba là 2² đồng; ngày thứ tư là 2³ đồng; … ; ngày thứ hai mươi sáu là 2²⁵ đồng.

Như vậy, số tiền công nhận được theo phương án 2 là:

1 + 2 + 2¹ + 2² + … + 2²⁵ = 2²⁶ – 1 = 67 108 863 (đồng).

Do 50 000 000 < 67 108 863 nên phương án 2 nhận được nhiều tiền công hơn.