Sách bài tập Toán 7 Bài 8 (Cánh diều): Đường vuông góc và đường xiên

Giải sách bài tập Toán 7 Bài 8. Đường vuông góc và đường xiên

Bài 52 trang 85 SBT Toán 7 Tập 2:

a) $\widehat{xOy}$ là góc nhọn;

b) $\widehat{xOy}$ là góc vuông;

c) $\widehat{xOy}$ là góc tù.

Lời giải

a) $\widehat{xOy}$ là góc nhọn

b) $\widehat{xOy}$ là góc vuông

c) $\widehat{xOy}$ là góc tù

Bài 53 trang 85 SBT Toán 7 Tập 2:

a) BH = CH;

b) MB = MC;

c) MA < AC.

Lời giải

a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Xét $∆$AHB và $∆$AHC có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90°\right)$,

BA = AC (chứng minh trên),

AH là cạnh chung

Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng).

Vậy BH = CH.

b) Vì ∆ABH = ∆ACH (chứng minh câu a)

Suy ra $\widehat{HAB}=\widehat{HAC}$ (hai góc tương ứng).

Xét $∆$AMB và $∆$AMC có:

BA = AC (chứng minh câu a),

$\widehat{MAB}=\widehat{MAC}$ (do $\widehat{HAB}=\widehat{HAC}$),

AM là cạnh chung

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.g.c).

Suy ra BM = CM (hai cạnh tương ứng).

Vậy BM = CM.

c) Vì $\widehat{AMC}$ là góc ngoài của tam giác CMH tại đỉnh M

Nên $\widehat{AMC}=\widehat{MHC}+\widehat{MCH}$

Mà $\widehat{MHC}=90°$ nên $\widehat{AMC}$ là góc tù

Xét tam giác AMC có $\widehat{AMC}$ là góc tù

Nên MC < AC (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất).

Vậy MC < AC.

Bài 54 trang 85 SBT Toán 7 Tập 2:

a) So sánh độ dài AH và AB, AH và AC.

b) Chứng minh: Nếu AB = AC thì HB = HC; ngược lại, nếu HB = HC thì AB = AC.

Lời giải

a) Ta có AH và AB lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

Suy ra AH < AB.

Tương tự, AH và AC lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

Suy ra AH < AC.

Vậy AH < AB và AH < AC.

b) • Nếu AB = AC.

Xét $∆$AHB và $∆$AHC có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90°\right)$,

AB = AC (giả thiết),

AH là cạnh chung

Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng).

• Nếu BH = CH

Xét $∆$AHB và $∆$AHC có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90°\right)$,

BH = CH (giả thiết),

AH là cạnh chung

Do đó ∆ABH = ∆ACH (hai cạnh góc vuông).

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).

Vậy nếu AB = AC thì HB = HC; ngược lại, nếu HB = HC thì AB = AC.

Bài 55 trang 85 SBT Toán 7 Tập 2:

a) Vẽ E là hình chiếu của A trên đường thẳng BM.

b) Vẽ F là hình chiếu của C trên đường thẳng BM.

c) Chứng minh BE + BF > 2AB.

Lời giải

a)

b)

c) Xét $∆$MAE và $∆$MCF có:

$\widehat{AEM}=\widehat{CFM}\left(=90°\right)$,

MA = MC (vì M là trung điểm của AC),

$\widehat{AME}=\widehat{CMF}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆MAE = ∆MCF (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra ME = MF (hai cạnh tương ứng).

Ta có BA và BM lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm B xuống đường thẳng AC

Suy ra AB < BM.

Hay AB < BE + EM (1) và AB < BF – MF (2)

Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta có:

AB + AB < BE + EM + BF – MF

Mà ME = MF

Do đó 2AB < BE + BF.

Vậy BE + BF > 2AB.

Bài 56 trang 85 SBT Toán 7 Tập 2:

a) $\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$;

b) CN = MA;

c) Nếu a song song với BC thì MA = AN.

Lời giải

a) Xét $∆$MAB vuông tại M có: $\widehat{ABM}+\widehat{MAB}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90).

Ta có $\widehat{MAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAN}=180°$

Suy ra $\widehat{MAB}+\widehat{CAN}=180°-\widehat{BAC}=90°$

Lại có $\widehat{ABM}+\widehat{MAB}=90°$

Suy ra $\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$.

Vậy $\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$.

b) Xét $∆$MAB và $∆$NCA có:

$\widehat{BMA}=\widehat{ANC}\left(=90°\right)$,

BA = AC (vì tam giác ABC vuông cân tại A),

$\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$ (chứng minh câu a).

Do đó ∆MAB = ∆NCA (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MA = NC (hai cạnh tương ứng).

Vậy MA = NC.

c) Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}$

Lại có $\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=180°$ (tổng ba góc của tam giác ABC)

Suy ra $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=\frac{180°-90°}{2}=45°$.

• Nếu a // BC thì $\widehat{MAB}=\widehat{ABC}$ (hai góc so le trong).

Do đó $\widehat{MAB}=45°$.

Xét $∆$ABM có $\widehat{AMB}+\widehat{MBA}+\widehat{MAB}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{MBA}=180°-\widehat{AMB}-\widehat{MAB}=180°-90°-45°=45°$.

Do đó $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}$ (cùng bằng 45°).

Xét ∆AMB có $\widehat{AMB}=90°$ và $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}$ nên DAMB vuông cân tại M.

Suy ra MA = MB (1)

• Nếu a // BC thì $\widehat{CAN}=\widehat{ACB}=45°$ (hai góc so le trong)

Xét $∆$ABM có $\widehat{ACN}+\widehat{ANC}+\widehat{CAN}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{ACN}=180°-\widehat{ANC}-\widehat{CAN}=180°-90°-45°=45°$.

Do đó $\widehat{ACN}=\widehat{CAN}$ (cùng bằng 45°).

Xét ∆ANC có $\widehat{ANC}=90°$ và $\widehat{ACN}=\widehat{CAN}$ nên ∆ANC vuông cân tại N.

Suy ra CN = AN(2)

Từ (1) và (2) suy ra MA = AN.

Vậy MA = AN.

Bài 57 trang 86 SBT Toán 7 Tập 2:

Lời giải

Kẻ DH ⊥ BC.

Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên ${\widehat{B}}_1={\widehat{B}}_2$.

Xét $∆$DAB và $∆$DHB có:

$\widehat{BAD}=\widehat{BHD}\left(=90°\right)$,

BD là cạnh chung,

${\widehat{B}}_1={\widehat{B}}_2$ (chứng minh trên)

Do đó ∆DAB = ∆DHB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AD = HD (hai cạnh tương ứng)  (1)

Vì DDHC vuông tại H nên HD < DC (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD < DC.

Vậy AD < DC.

Bài 58 trang 86 SBT Toán 7 Tập 2:

a) Chứng minh tam giác CBM là tam giác cân.

b) So sánh độ dài CM và AC.

Lời giải

a) Vì $∆$ABD vuông tại A nên ${\widehat{B}}_1+{\widehat{D}}_1=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90)

Mà ${\widehat{B}}_1={\widehat{B}}_2$ (do BD là tia phân giác của góc ABC) và ${\widehat{D}}_1={\widehat{D}}_2$ (hai góc đối đỉnh).

Nên ${\widehat{B}}_2+{\widehat{D}}_2=90°$

Vì $∆$CDM vuông tại C nên $\widehat{M}+{\widehat{D}}_2=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90).

Suy ra $\widehat{M}={\widehat{B}}_2$

Do đó tam giác CBM cân tại C.

Vậy tam giác CBM cân tại C.

b) Vì tam giác CBM cân tại C (chứng minh câu a)

Nên CM = BC.

Vì $∆$ABC vuông tại A nên BC > AC (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).

Suy ra CM > AC.

Vậy CM > AC.

Bài 59 trang 86 SBT Toán 7 Tập 2:

Chứng minh:

a) BH + CK ≤ BC.

b) Nếu tổng BH + CK lớn nhất thì tia Ax phải vuông góc với BC.

Lời giải

a) Vì $∆$BHE vuông tại H nên BH ≤ BE (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).

Vì $∆$CKE vuông tại K nên CK ≤ CE (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).

Suy ra BH + CK ≤ BE + CE = BC.

Vậy BH + CK ≤ BC.

b) Ta có BH + CK ≤ BC (theo câu a).

Do đó BH + CK lớn nhất khi BH + CK = BC

Điều này xảy ra khi và chỉ khi BH = BE, CK = CE.

Khi đó BH ≡ BE, CK ≡ CE

Do đó BE ⊥ Ax và CE ⊥ Ax

Hay BC ⊥ Ax.

Vậy nếu tổng BH + CK lớn nhất thì tia Ax phải vuông góc với BC.