Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây

Giải Toán 12 Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Bài 6 trang 68 SGK Toán lớp 12 Hình học:

a) Có đường kính AB với A = (4; –3; 7), B = (2; 1; 3).

b) Đi qua điểm A = (5; –2; 1) và có tâm C = (3; –3; 1).

Lời giải:

a) Gọi I là tâm mặt cầu.

Suy ra, I là trung điểm AB (do AB là đường kính).

$\Rightarrow \begin{array}{c}{x}_I=\frac{x_A+x_B}{2}=3\\ y_I=\frac{y_A+y_B}{2}=-1\\ z_I=\frac{z_A+z_B}{2}=5\end{array}\Rightarrow I(3;-1;5)$

Bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{{(2-4)}^2\text{}+{(1+3)}^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{(3-7)}^2}}{2}=3$

Vậy phương trình mặt cầu là:

(x – 3)² + (y + 1)² + (z – 5)² = 9.

b) Vì A nằm trên mặt cầu có tâm C nên bán kính

R = CA = $\sqrt{{(3-5)}^2+\text{\hspace{0.17em}}{(-3+2)}^2+{(1-1)}^2}=\sqrt{5}$

Phương trình mặt cầu là:

( x – 3)² + (y + 3)² + (z – 1)² = 5.