Hoạt động 9 trang 68 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Hoạt động 9 trang 68 Toán 11 Tập 2:Cho hai hàm số f(x), g(x) xác định trên khoảng (a; b) cùng có đạo hàm tại điểm x₀>∈ (a; b).

a) Xét hàm số h(x) = f(x) + g(x), x ∈ (a; b). So sánh:

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{h\left(x_0+\Delta x\right)-h\left(x_0\right)}{\Delta x}$và $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{g\left(x_0+\Delta x\right)-g\left(x_0\right)}{\Delta x}.$

b) Nêu nhận xét về h'(x₀) và f'(x₀) + g’(x₀

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{h\left(x_0+\Delta x\right)-h\left(x_0\right)}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)+g\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)-g\left(x_0\right)}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left.\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}+\frac{g\left(x_0+\Delta x\right)-g\left(x_0\right)}{\Delta x}\right]$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{g\left(x_0+\Delta x\right)+g\left(x_0\right)}{\Delta x}.$

b) Do $h^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{h\left(x_0+\Delta x\right)-h\left(x_0\right)}{\Delta x};$

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x};$

$g^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{g\left(x_0+\Delta x\right)-g\left(x_0\right)}{\Delta x}.$

Nên h’(x₀) = f’(x₀) + g’(x₀.