Hoạt động 8 trang 67 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Hoạt động 8 trang 67 Toán 11 Tập 2:Bằng cách sử dụng kết quả $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+x\right)}{x}=1$tính đạo hàm của hàm số y = lnx tại điểm x dương bất kì bằng định nghĩa

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = ln(x + ∆x) – lnx.

Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(x+\Delta x\right)-\ln x}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\ln \frac{x+\Delta x}{x}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left.\frac{1}{x}\cdot \frac{\ln \left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}{\frac{\Delta x}{x}}\right]=\frac{1}{x}\underset{\frac{\Delta x}{x}\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}{\frac{\Delta x}{x}}=\frac{1}{x}$

Vậy đạo hàm của hàm số y = lnx tại điểm x dương bất kì là$y^{\text{'}}=\frac{1}{x}.$