Giải Toán 12 trang 41 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải Toán 12 trang 41Tập 1

Bài 1.27 trang 41 Toán 12 Tập 1: Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị hàng hóa nào đó là:$C\left(x\right)=23000+50x-0,5x^2+0,00175x^3$

a) Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm C’(100) và giải thích ý nghĩa của nó.

c) So sánh C’(100) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 101.

Lời giải:

a) Hàm chi phí biên là: $C^{\prime }\left(x\right)=0,00525x^2-x+50$.

b) Ta có: $C^{\prime }\left(100\right)=0,{00525.100}^2-100+50=2,5$ (trăm nghìn đồng)

Chi phí biên tại $x=100$ là 250 000 đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo (đơn thứ 101) là khoảng 250 000 đồng.

c) Chi phí sản xuất đơn hàng thứ 101 là:

$C\left(101\right)-C\left(100\right)=24752,52675-24750=2,52675$ (trăm nghìn đồng)

Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên C’(100) đã tính ở câu b.

Bài 1.28 trang 41 Toán 12 Tập 1: Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?

Lời giải:

Gọi x là số lần tăng giá 100 nghìn đồng ($x>0$).

Khi đó, số căn được cho thuê là: $100-x$ (căn)

Tổng số tiền thu được trong một tháng là:

$\left(100-x\right)\left(8000000+100000x\right)=100000\left(100-x\right)\left(80+x\right)=100000\left(-x^2+20x+8000\right)$

$=100000\left[-{\left(x-10\right)}^2+8100\right]\le 810000000$ với mọi $x>0$.

Dấu “=” xảy ra khi $x=10$ (thỏa mãn)

Vậy để thu được doanh thu là lớn nhất thì người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là: $8000000+100000.10=9000000$ (đồng).

Bài 1.29 trang 41 Toán 12 Tập 1: Giả sử hàm cầu đối với một loại hàng hóa được cho bởi công thức$p=\frac{354}{1+0,01x},x\ge 0$, trong đó p là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và x là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán.

a) Tìm công thức tính x như là hàm số của p. Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $x=x\left(p\right)$. Từ đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:

- Số lượng đơn vị sản phẩm bán được sẽ thay đổi thế nào khi giá bán p tăng;

- Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn $\underset{p\to 0^{+}}{lim}x\left(p\right)$.

Lời giải:

a) Tìm công thức tính x như là hàm số của p. Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng.

Vì $p=\frac{354}{1+0,01x}\Rightarrow p\left(1+0,01x\right)=354\Rightarrow p+0,01px=354\Rightarrow x=\frac{354-p}{0,01p}$

Tập xác định của hàm số là: $\left(0;354\right]$

Với $p=240$ ta có: $x=\frac{354-240}{0,01.240}=47,5$

Vậy với giá bán mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng thì bán được 47,5 đơn vị sản phẩm.

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số: $x=x\left(p\right)=\frac{354-p}{0,01p}$

1. Tập xác định của hàm số: $\left(0;354\right]$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $x^{\prime }\left(p\right)=\frac{-3,54}{{\left(0,01p\right)}^2}<0$ với mọi $p\in \left(0;354\right]$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(0;354\right)$.

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn:

$\underset{p\to 0^{+}}{lim}x\left(p\right)=\underset{p\to 0^{+}}{lim}\frac{354-p}{0,01p}=+\mathrm{\infty }$

Do đó, đồ thị hàm số $x=x\left(p\right)=\frac{354-p}{0,01p}$ với $p\in \left(0;354\right]$ nhận đường thẳng $p=0$ làm tiệm cận đứng.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có: $f\left(p\right)=0\iff \frac{354-p}{0,01p}=0\iff p=354$

Đồ thị hàm số $x=f\left(p\right)=\frac{354-p}{0,01p}$ cắt trục hoành tại điểm (354; 0).

Đồ thị hàm số $x=f\left(p\right)=\frac{354-p}{0,01p}$ đi qua các điểm (300; 18); (200; 77).

Đồ thị hàm số $x=f\left(p\right)=\frac{354-p}{0,01p}$ với $p\in \left(0;354\right]$ là đường màu xanh:

- Số lượng đơn vị sản phẩm bán sẽ giảm đi khi giá bán tăng, và sẽ không bán được sản phẩm nào nếu giá bán là 354 nghìn đồng

- Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn $\underset{p\to 0^{+}}{lim}x\left(p\right)$: Vì $\underset{p\to 0^{+}}{lim}x\left(p\right)=+\mathrm{\infty }$ nên giá bán càng thấp thì số lượng đơn vị sản phẩm sẽ bán được càng nhiều.