Giải Toán 12 trang 40 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải Toán 12 trang 40Tập 1

Vận dụng trang 40 Toán 12 Tập 1: Một nhà sản xuất trung bình bán được 1 000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần.

a) Tìm hàm cầu.

b) Công ty nên giảm giá bao nhiêu cho người mua để doanh thu là lớn nhất?

c) Nếu hàm chi phí hằng tuần là $C\left(x\right)=12000-3x$ (triệu đồng), trong đó x là số ti vi bán ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán như thế nào để lợi nhuận là lớn nhất?

Lời giải:

a) Gọi p (triệu đồng) là giá của mỗi ti vi, x là số ti vi. Khi đó, hàm cầu là $p=p\left(x\right)$.

Theo giả thiết, tốc độ thay đổi của x tỉ lệ với tốc độ thay đổi của p nên hàm số $p=p\left(x\right)$ là hàm số bậc nhất nên. Do đó, $p\left(x\right)=ax+b$ (a khác 0).

Giá tiền$p_1=14$ ứng với $x_1=1000$, giá tiền $p_2=13,5$ ứng với $x_2=1000+100=1100$

Do đó, phương trình đường thẳng $p\left(x\right)=ax+b$ đi qua hai điểm (1000; 14) và (1 100; 13,5). Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}14=1000a+b\\ 13,5=1100a+b\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{-1}{200}\\ b=19\end{array}$ (thỏa mãn)

Vậy hàm cầu là: $p\left(x\right)=-\frac{1}{200}x+19$

b) Vì $p=\frac{-1}{200}x+19\Rightarrow x=-200p+3800$

Hàm doanh thu từ tiền bán ti vi là: $R\left(p\right)=px=p\left(-200p+3800\right)=-200p^2+3800p$

Để doanh thu là lớn nhất thì ta cần tìm p sao cho R đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: $R^{\prime }\left(p\right)=-400p+3800,R^{\prime }\left(p\right)=0\iff p=\frac{19}{2}$

Bảng biến thiên:

Vậy công ty nên giảm giá số tiền một chiếc ti vi là: $14-\frac{19}{2}=4,5$ (triệu đồng) thì doanh thu là lớn nhất.

c) Doanh thu bán hàng của x sản phẩm là: $R\left(x\right)=x.p\left(x\right)=x.\left(\frac{-1}{200}x+19\right)=\frac{-x^2}{200}+19x$ (triệu đồng)

Do đó, hàm số thể hiện lợi nhuận thu được khi bán x sản phẩm là:

$P\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right)=\frac{-x^2}{200}+19x-12000+3x=\frac{-x^2}{200}+22x-12000$(triệu đồng).

Để lợi nhuận là lớn nhất thì P(x) là lớn nhất.

Ta có: $P^{\prime }\left(x\right)=\frac{-x}{100}+22,P^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=2200$

Bảng biến thiên:

Vậy có 2200 ti vi được bán ra thì lợi nhuận là cao nhất. Số ti vi mua tăng lên là: $2200-1000=1200$ (chiếc)

Vậy cửa hàng nên đặt giá bán là: $14-0,5.\frac{1200}{100}=8$ (triệu đồng)

Bài tập

Bài 1.26 trang 40 Toán 12 Tập 1:Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm t (giây) là $y=t^3-12t+3,t\ge 0$.

a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới?c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian $0\le t\le 3$.
d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?

Lời giải:

a) Hàm vận tốc là: $v\left(t\right)=y^{\prime }=3t^2-12$, $t\ge 0$

Hàm gia tốc là: $a\left(t\right)=v^{\prime }\left(t\right)=y^{″}=6t$, $t\ge 0$

b) Hạt chuyển động lên trên khi $v\left(t\right)>0\iff 3t^2-12>0\iff t>2$ (do $t\ge 0$)

Hạt chuyển động xuống dưới khi $v\left(t\right)<0\iff 3t^2-12<0\iff 0\le t<2$ (do $t\ge 0$)

c) Ta có: $y\left(3\right)-y\left(0\right)=3^3-12.3+3-3=-9$

Vậy quãng đường vật đi được trong thời gian $0\le t\le 3$ là 9m.

d) Hạt tăng tốc khi $v\left(t\right)$ tăng hay $v^{\prime }\left(t\right)>0.$ Do đó, $6t>0\iff t>0$

Hạt giảm tốc khi $v\left(t\right)$ giảm hay $v^{\prime }\left(t\right)<0\iff 6t<0\iff t<0$ (không thỏa mãn do $t\ge 0$)